Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $(-2)$ i $0$ wartość wyrażenia $\frac{x^2 + x}{x^2 + 4x + 4}\cdot\frac{x + 2}{x}$ jest równa wartości wyrażenia…” – zadanie zamknięte, prawie w każdym arkuszu.

Mnożenie: $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ – ale najpierw rozłóż wszystko na czynniki i skróć.
Dzielenie: mnożysz przez odwrotność: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$ .
Czynniki przeciwne: $2 - x = -(x - 2)$ , więc $\frac{2 - x}{x - 2} = -1$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Rozłóż liczniki i mianowniki
$x^2 + x = x(x + 1)$ , $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ , $4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$ .
2
Przy dzieleniu odwróć drugi ułamek
Licznik ↔ mianownik.
3
Skróć wspólne czynniki
Czynnik z licznika z tym samym czynnikiem z mianownika (także na krzyż).
4
Zapisz wynik
Porównaj z odpowiedziami – mogą być zapisane z minusem przed ułamkiem.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Mnożenie

Dla $x \neq 0$ , $x \neq -3$ , $x \neq 3$ uprość $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}\cdot\frac{2x}{x - 3}$ .

$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)}\cdot\frac{2x}{x - 3}$ .
Skracamy $(x - 3)$ , $(x + 3)$ i $x$ .

Odpowiedź: $2$

Przykład 2

Dzielenie

Dla $x \neq 0$ , $x \neq -2$ uprość $\frac{x^2 - 4}{x} : \frac{x + 2}{x^2}$ .

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{x}\cdot\frac{x^2}{x + 2}$ .
Skracamy $(x + 2)$ oraz $x$ : zostaje $(x - 2)\cdot x$ .

Odpowiedź: $x(x - 2) = x^2 - 2x$

Przykład 3

Czynniki przeciwne

Dla $x \notin \{-1, 0, 1\}$ uprość $\frac{3}{x^2 - x} : \frac{6x}{1 - x^2}$ .

$\frac{3}{x(x - 1)}\cdot\frac{(1 - x)(1 + x)}{6x}$ .
$\frac{1 - x}{x - 1} = -1$ , a $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .
Zostaje $-\frac{x + 1}{2x\cdot x} = -\frac{x + 1}{2x^2}$ .

Odpowiedź: $-\frac{x + 1}{2x^2}$

Typowe błędy

Skracanie składników: $\frac{x + 3}{x} = 3$ – źle.
Zgubienie minusa przy czynnikach przeciwnych ( $1 - x$ i $x - 1$ ).
Przy dzieleniu odwrócenie pierwszego ułamka zamiast drugiego.