Dziedzina wyrażenia wymiernego

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Dziedziną wyrażenia $\frac{x + 1}{x^2 - 9}$ jest zbiór…”, „Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $(-2)$ i $0$ …” – dziedzina jest też podawana w treściach zadań o upraszczaniu.

Mianownik nie może być zerem – wykluczasz wszystkie jego miejsca zerowe.
Rozkładasz mianownik na czynniki i każdy przyrównujesz do zera.
Przy dzieleniu wyrażeń wymiernych także licznik dzielnika musi być różny od zera.
Mianownik zawsze dodatni (np. $x^2 + 4$ ) – dziedzina to $\mathbb{R}$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wypisz mianowniki
Wszystkie – także te w ułamkach w liczniku.
2
Rozłóż na czynniki
$x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2)$ .
3
Przyrównaj czynniki do zera
Zbierz liczby do wykluczenia.
4
Zapisz dziedzinę
$D = \mathbb{R}\setminus\{-2, 0, 2\}$ .

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Mianownik trzeciego stopnia

Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\frac{5}{x^3 - 4x}$ .

$x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2)$ .
Zeruje się dla $x = 0$ , $x = 2$ , $x = -2$ .

Odpowiedź: $D = \mathbb{R}\setminus\{-2, 0, 2\}$

Przykład 2

Pełny kwadrat

Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\frac{x}{x^2 - 6x + 9}$ .

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0 \iff x = 3$ .

Odpowiedź: $D = \mathbb{R}\setminus\{3\}$

Przykład 3

Mianownik zawsze dodatni

Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\frac{2x - 1}{x^2 + 1}$ .

$x^2 + 1 \ge 1 > 0$ – mianownik nigdy nie jest zerem.

Odpowiedź: $D = \mathbb{R}$

Typowe błędy

Wykluczenie tylko jednego pierwiastka z $x^2 - 9$ (zapomnienie o $-3$ ).
Wyznaczanie dziedziny dopiero po skróceniu.
Wykluczanie miejsc zerowych licznika – licznik może być zerem.