Twierdzenie cosinusów i pole z sinusem

Spis treści

Co musisz wiedzieć

„Trójkąt o bokach $6$ , $7$ , $8$ . Oblicz cosinus największego kąta.”
„ $|AB| = 5$ , $|AC| = 2$ , $\cos\angle BAC = \frac{3}{5}$ . Długość $BC$ jest równa”.
„ $|AC| = 4$ , $|AB| = 3$ , $\cos\angle BAC = \frac{4}{5}$ . Oblicz pole trójkąta.”

Twierdzenie cosinusów i polena karcie wzorów

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma, \qquad P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma

Największy kąt leży naprzeciw najdłuższego boku.
$\cos\gamma < 0$ – kąt rozwarty (trójkąt rozwartokątny); $= 0$ – prosty; $> 0$ – ostry.
Do pola potrzebny jest sinus – z cosinusa licz go jedynką (sinus kąta w trójkącie jest zawsze dodatni).

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

Przykład 1

Cosinus największego kąta

Trójkąt ma boki $5$ , $6$ , $7$ . Oblicz cosinus największego kąta.

Odpowiedź: $\frac{1}{5}$

Przykład 2

Trzeci bok

W trójkącie $ABC$ : $|AB| = 4$ , $|AC| = 5$ , $\cos\angle BAC = \frac{1}{8}$ . Oblicz $|BC|$ .

Odpowiedź: $6$

Przykład 3

Pole przy danym cosinusie

W trójkącie $ABC$ : $|AB| = 6$ , $|AC| = 5$ , $\cos\angle BAC = \frac{3}{5}$ . Oblicz pole.

Odpowiedź: $12$

Przykład 4

Czy rozwartokątny?

Czy trójkąt o bokach $4$ , $5$ , $7$ jest rozwartokątny?

$\cos\gamma = \frac{16 + 25 - 49}{2\cdot 4\cdot 5} = -\frac{8}{40} = -\frac{1}{5} < 0$ .

Odpowiedź: tak, kąt naprzeciw boku 7 jest rozwarty