Kąt w układzie współrzędnych

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Jedno z ramion kąta $\alpha$ pokrywa się z dodatnią półosią $Ox$ , a drugie przechodzi przez $P = (-3, 1)$ . Tangens kąta jest równy”, „ $\operatorname{tg}\alpha = -3$ , $90° < \alpha < 180°$ – wybierz prawdziwe zależności”.

Funkcje kąta w układzie

r = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \sin\alpha = \frac{y}{r},\quad \cos\alpha = \frac{x}{r},\quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}

Kąt $\alpha$, którego ramię przechodzi przez $P = (-3, 4)$: $r = 5$.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Odczytaj x i y punktu
Ze znakami.
2
Oblicz r
$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ .
3
Podstaw do wzorów
Znaki wychodzą same.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Punkt na ramieniu

Ramię kąta $\alpha$ przechodzi przez $P = (-3, 4)$ . Oblicz $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ , $\operatorname{tg}\alpha$ .

$r = \sqrt{9 + 16} = 5$ .

Odpowiedź: $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ , $\cos\alpha = -\frac{3}{5}$ , $\operatorname{tg}\alpha = -\frac{4}{3}$

Przykład 2

Dany tangens

$\operatorname{tg}\alpha = -3$ i $90° < \alpha < 180°$ . Oblicz $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$ .

Wybieramy punkt w II ćwiartce: $P = (-1, 3)$ , $r = \sqrt{10}$ .
$\sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$ , $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

Odpowiedź: $\sin\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$ , $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$

Typowe błędy

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{x}{y}$ – odwrócony iloraz.
Punkt w złej ćwiartce przy danym tangensie.