Kąt spełniający warunek – oblicz funkcję

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Kąt ostry spełnia warunek $\frac{3\sin\alpha + 4\cos\alpha}{4\cos\alpha} = 6$ . Tangens jest równy”, „ $\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha = 2\sin\alpha$ . Cosinus jest równy”.

Gdy w równaniu są $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$ w pierwszej potędze – podziel przez $\cos\alpha$ (dla kąta ostrego $\cos\alpha \neq 0$ ).
Gdy jest $\operatorname{tg}\alpha$ i $\sin\alpha$ – zapisz $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ i podziel przez $\sin\alpha \neq 0$ .
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ zamień od razu na $1$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Uprość (jedynka, ułamki)
Rozbij ułamek na sumę.
2
Doprowadź do jednej funkcji
Zwykle do tangensa.
3
Rozwiąż
Sprawdź, czy wynik pasuje do kąta ostrego.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Proporcja sinusa i cosinusa

Kąt $\alpha$ jest ostry i $3\sin\alpha = 4\cos\alpha$ . Oblicz $\operatorname{tg}\alpha$ i $\sin\alpha$ .

Dzielimy przez $3\cos\alpha$ : $\operatorname{tg}\alpha = \frac{4}{3}$ .
Trójkąt $3$ – $4$ – $5$ : $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ .

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{4}{3}$ , $\sin\alpha = \frac{4}{5}$

Przykład 2

Ułamek

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\frac{2\sin\alpha + \cos\alpha}{\cos\alpha} = 5$ . Oblicz $\operatorname{tg}\alpha$ .

$\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} + 1 = 5 \Rightarrow 2\operatorname{tg}\alpha = 4$ .

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha = 2$

Przykład 3

Tangens i sinus

Kąt $\alpha$ jest ostry i $2\operatorname{tg}\alpha = 3\sin\alpha$ . Oblicz $\cos\alpha$ .

$\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} = 3\sin\alpha$ ; dzielimy przez $\sin\alpha \neq 0$ : $\frac{2}{\cos\alpha} = 3$ .

Odpowiedź: $\cos\alpha = \frac{2}{3}$

Typowe błędy

Rozbicie ułamka: $\frac{3\sin\alpha + 4\cos\alpha}{4\cos\alpha} = \frac{3}{4}\operatorname{tg}\alpha + 1$ , a nie $3\operatorname{tg}\alpha + 1$ .