Dana jedna funkcja – oblicz pozostałe

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos\alpha = \frac{5}{13}$ . Tangens kąta $\alpha$ jest równy”, „ $\sin\alpha = \frac{4}{7}$ . Oceń: $\cos\alpha = \frac{3}{7}$ ; $\cos\beta = \frac{4}{7}$ ”.

Jedynka trygonometryczna i tangensna karcie wzorów

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Trójkąt pomocniczy: $\cos\alpha = \frac{5}{13}$ → przyległa $5$ , przeciwprostokątna $13$ , naprzeciw $\sqrt{169 - 25} = 12$ .
Jedynka: $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha}$ (dla kąta ostrego wszystkie funkcje są dodatnie).
W trójkącie prostokątnym kąty ostre $\alpha$ i $\beta$ się uzupełniają: $\cos\beta = \sin\alpha$ , $\sin\beta = \cos\alpha$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Narysuj trójkąt albo zapisz jedynkę
Z danej funkcji odczytaj dwa boki.
2
Oblicz trzeci bok
Pitagoras.
3
Zapisz szukaną funkcję
Uprość i usuń niewymierność, jeśli trzeba.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Cosinus → tangens

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha = \frac{5}{13}$ . Oblicz $\operatorname{tg}\alpha$ .

Przyległa $5$ , przeciwprostokątna $13$ , naprzeciw $12$ .
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{12}{5}$ .

Odpowiedź: $\frac{12}{5}$

Przykład 2

Sinus z pierwiastkiem

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ . Oblicz $\operatorname{tg}\alpha$ .

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$ .
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Odpowiedź: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Przykład 3

Tangens → sinus

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg}\alpha = 2$ . Oblicz $\sin\alpha$ .

Naprzeciw $2$ , przy kącie $1$ , przeciwprostokątna $\sqrt{5}$ .
$\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ .

Odpowiedź: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Typowe błędy

$\cos\alpha = 1 - \sin\alpha$ – jedynka dotyczy kwadratów.
Uznanie, że $\sin\alpha + \cos\alpha = 1$ .