Obliczanie boków z funkcji trygonometrycznych

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„ $\sin\alpha = \frac{1}{4}$ , przeciwprostokątna ma długość $8$ . Krótsza przyprostokątna ma długość”, „ $\sin\angle CAB = \frac{3}{5}$ , a $AB$ jest o $8$ dłuższa od $BC$ . Oblicz $AB$ ”.

Wybierz funkcję łączącą bok znany z szukanym.
Gdy znasz tylko zależność boków (np. „o $8$ dłuższa”), zapisz boki jako $3k$ i $5k$ (z $\sin = \frac{3}{5}$ ).

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Nazwij boki względem kąta
Który znasz, którego szukasz?
2
Ułóż równanie
$\sin\alpha = \frac{x}{8}$ .
3
Rozwiąż
Pozostałe boki – Pitagoras.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Przeciwprostokątna i cosinus

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość $10$ , a $\cos\alpha = 0{,}6$ . Oblicz przyprostokątne.

Przy kącie: $10\cdot 0{,}6 = 6$ .
Naprzeciw: $\sqrt{100 - 36} = 8$ .

Odpowiedź: $6$ i $8$

Przykład 2

Tangens i przyprostokątna

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}$ , a przyprostokątna przy kącie $\alpha$ ma długość $12$ . Oblicz pozostałe boki.

Naprzeciw: $12\cdot\frac{3}{4} = 9$ .
Przeciwprostokątna: $\sqrt{144 + 81} = 15$ .

Odpowiedź: $9$ i $15$

Przykład 3

Zależność między bokami

W trójkącie prostokątnym $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ , a przeciwprostokątna jest o $8$ dłuższa od przyprostokątnej leżącej naprzeciw $\alpha$ . Oblicz przeciwprostokątną.

Naprzeciw $3k$ , przeciwprostokątna $5k$ : $5k - 3k = 8 \Rightarrow k = 4$ .

Odpowiedź: $20$

Typowe błędy

Mnożenie zamiast dzielenia (lub odwrotnie): z $\sin\alpha = \frac{a}{c}$ jest $a = c\sin\alpha$ , ale $c = \frac{a}{\sin\alpha}$ .