Funkcje trygonometryczne z boków trójkąta

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Sinus kąta ostrego $ABC$ jest równy”, „Tangens kąta $\gamma$ jest równy” – na rysunku lub w treści są długości boków trójkąta prostokątnego (czasem ukrytego w trapezie, prostokącie, układzie współrzędnych).

Funkcje kąta ostregona karcie wzorów

\sin\alpha = \frac{a}{c},\quad \cos\alpha = \frac{b}{c},\quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}

$a$ – przyprostokątna naprzeciw kąta, $b$ – przyprostokątna przy kącie, $c$ – przeciwprostokątna.

Brakujący bok z Pitagorasa: $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Znajdź trójkąt prostokątny z kątem
W trapezie – dorysuj wysokość.
2
Nazwij boki względem kąta
Naprzeciw, przy, przeciwprostokątna.
3
Dolicz brakujący bok
Twierdzenie Pitagorasa.
4
Podziel odpowiednie boki
Usuń niewymierność, jeśli odpowiedzi tego wymagają.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Trójkąt 3-4-5

W trójkącie prostokątnym $ABC$ (kąt prosty przy $C$ ) $|AC| = 4$ , $|BC| = 3$ . Oblicz $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ , $\operatorname{tg}\alpha$ dla kąta $\alpha$ przy wierzchołku $A$ .

$|AB| = \sqrt{16 + 9} = 5$ .
Naprzeciw $\alpha$ : $3$ ; przy $\alpha$ : $4$ .

Odpowiedź: $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ , $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ , $\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}$

Przykład 2

Kąt przy drugim wierzchołku

W trójkącie prostokątnym $ABC$ przeciwprostokątną jest $AC$ , $|BC| = 2$ , $|AC| = 2\sqrt{10}$ . Oblicz sinus kąta $BCA$ .

$|AB| = \sqrt{40 - 4} = 6$ .
Naprzeciw kąta przy $C$ leży $AB$ : $\sin\gamma = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$ .

Odpowiedź: $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

Przykład 3

Kąt w trapezie

Trapez prostokątny $ABCD$ ma podstawy $|AB| = 7$ , $|CD| = 3$ i wysokość $|AD| = 4$ . Oblicz miarę kąta ostrego $ABC$ .

Wysokość z $C$ odcina przy $B$ odcinek $7 - 3 = 4$ .
$\operatorname{tg}\beta = \frac{4}{4} = 1$ , więc $\beta = 45°$ .

Odpowiedź: $45°$

Typowe błędy

Liczenie funkcji z boków „nie tego” kąta.
Dzielenie przez przyprostokątną zamiast przez przeciwprostokątną w sinusie.