Walec – przekrój osiowy, objętość, pole

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„ $AD$ jest wysokością walca, $AB$ – średnicą podstawy, $|BD| = 4\sqrt{3}$ , kąt $ABD = 30°$ . Oblicz objętość i pole”, „Objętość walca o promieniu $2$ jest równa $16\pi^2$ . Wysokość jest równa”.

Walecna karcie wzorów

V = \pi r^2 H, \qquad P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H

Przekrój osiowy to prostokąt o bokach $2r$ i $H$ ; jego przekątna tworzy z średnicą kąt $\alpha$ : $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{2r}$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Narysuj przekrój osiowy
Prostokąt 2r × H.
2
Wyznacz r i H
Trygonometria w trójkącie z przekątną.
3
Podstaw do wzorów
Wynik z π.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Z przekątnej przekroju

Przekątna przekroju osiowego walca ma długość $8$ i tworzy z średnicą podstawy kąt $60°$ . Oblicz objętość.

$2r = 8\cos 60° = 4 \Rightarrow r = 2$ ; $H = 8\sin 60° = 4\sqrt{3}$ .
$V = \pi\cdot 4\cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\pi$ .

Odpowiedź: $16\sqrt{3}\pi$

Przykład 2

Wysokość z objętości

Walec o promieniu $3$ ma objętość $45\pi$ . Oblicz wysokość i pole całkowite.

$9\pi H = 45\pi \Rightarrow H = 5$ .
$P_c = 18\pi + 30\pi = 48\pi$ .

Odpowiedź: $H = 5$ , $P_c = 48\pi$

Typowe błędy

Średnica wzięta jako promień.
Pole całkowite bez jednej podstawy.