Stożek – kąt rozwarcia, objętość, pole

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Tworząca stożka ma długość $8$ , kąt rozwarcia $120°$ . Oblicz objętość”, „Objętość stożka o wysokości $2$ jest równa $8\pi$ . Oblicz kąt rozwarcia”.

Stożekna karcie wzorów

V = \frac{1}{3}\pi r^2 H, \qquad P_b = \pi r l, \qquad l^2 = r^2 + H^2

Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o ramionach $l$ i podstawie $2r$ .
Kąt rozwarcia to kąt między tworzącymi w przekroju – podwojony kąt $\alpha$ między tworzącą a wysokością: $\sin\alpha = \frac{r}{l}$ , $\operatorname{tg}\alpha = \frac{r}{H}$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Narysuj połowę przekroju
Trójkąt prostokątny r, H, l.
2
Zaznacz połowę kąta rozwarcia
Przy wierzchołku, między H a l.
3
Licz brakujące i podstaw do wzorów
Wynik zostaw z π.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Z kąta rozwarcia

Tworząca stożka ma $10$ , kąt rozwarcia $60°$ . Oblicz objętość.

Połowa kąta $30°$ : $r = 10\sin 30° = 5$ , $H = 10\cos 30° = 5\sqrt{3}$ .
$V = \frac{1}{3}\pi\cdot 25\cdot 5\sqrt{3} = \frac{125\sqrt{3}}{3}\pi$ .

Odpowiedź: $\frac{125\sqrt{3}}{3}\pi$

Przykład 2

Kąt z objętości

Stożek o wysokości $3$ ma objętość $9\pi$ . Oblicz kąt rozwarcia.

$\frac{1}{3}\pi r^2\cdot 3 = 9\pi \Rightarrow r = 3$ .
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{3} = 1 \Rightarrow \alpha = 45°$ , rozwarcie $90°$ .

Odpowiedź: $90°$

Przykład 3

Pole boczne a podstawa

Stożek ma promień $4$ i tworzącą $12$ . Ile razy pole boczne jest większe od pola podstawy?

$P_b = 48\pi$ , $P_p = 16\pi$ .

Odpowiedź: 3 razy

Typowe błędy

Kąt rozwarcia utożsamiony z połową kąta.
$P_b = \pi r H$ zamiast $\pi r l$ .