Kula i porównywanie brył

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Stożek i walec mają równe wysokości, promień stożka jest dwa razy większy. Stosunek objętości stożka do walca jest równy”, „Walec $C_2$ jest podobny do $C_1$ w skali $2$ …”.

Kulana karcie wzorów

V = \frac{4}{3}\pi r^3, \qquad P = 4\pi r^2

Porównując bryły, zapisz obie objętości przez te same litery i podziel.
Bryły podobne w skali $k$ : pola $\times k^2$ , objętości $\times k^3$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Oznacz wymiary jednej bryły literami
Drugą wyraź przez te same litery.
2
Zapisz obie objętości (pola)
Ze wzorów dla każdej bryły.
3
Podziel – litery się skrócą
Zostaje liczba – szukany stosunek.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Stożek i walec

Stożek i walec mają wspólną podstawę, a wysokość stożka jest $3$ razy większa od wysokości walca. Porównaj objętości.

$V_s = \frac{1}{3}\pi r^2\cdot 3H = \pi r^2H = V_w$ .

Odpowiedź: objętości są równe

Przykład 2

Kula w walcu

Kula jest wpisana w walec (dotyka obu podstaw i powierzchni bocznej). Oblicz stosunek objętości kuli do objętości walca.

Walec: promień $r$ , wysokość $2r$ : $V_w = 2\pi r^3$ .
$\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3} = \frac{2}{3}$ .

Odpowiedź: $\frac{2}{3}$

Typowe błędy

Pole kuli $\frac{4}{3}\pi r^2$ – mieszanie wzorów.