Objętość i pole ostrosłupa

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Pole powierzchni całkowitej jest równe $20$ , a pole boczne jest cztery razy większe od pola podstawy. Krawędź podstawy jest równa”, „Punkty $D$ , $E$ , $F$ są środkami krawędzi bocznych. Stosunek objętości…”.

Ostrosłupna karcie wzorów

V = \frac{1}{3}P_p\cdot H, \qquad P_c = P_p + P_b

Ostrosłupy podobne w skali $k$ : pola $\times k^2$ , objętości $\times k^3$ .
Odcięcie płaszczyzną przez środki krawędzi bocznych – mały ostrosłup w skali $\frac{1}{2}$ , objętość $\frac{1}{8}$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zapisz zależności
Np. $P_b = 4P_p$ .
2
Rozwiąż równanie
Wyznacz pole podstawy, a z niego krawędź.
3
Przy podobieństwie – ustal skalę
Z objętości: pierwiastek trzeciego stopnia.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Pole boczne i podstawa

Pole całkowite ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $36$ , a pole boczne jest $3$ razy większe od pola podstawy. Oblicz krawędź podstawy.

$P_p + 3P_p = 36 \Rightarrow P_p = 9 \Rightarrow a = 3$ .

Odpowiedź: $3$

Przykład 2

Podobne ostrosłupy

Objętości dwóch podobnych ostrosłupów są równe $27$ i $216$ . Oblicz stosunek ich pól powierzchni.

$k^3 = 8 \Rightarrow k = 2$ , pola: $k^2 = 4$ .

Odpowiedź: $4$

Typowe błędy

Brak $\frac{1}{3}$ w objętości ostrosłupa.
Stosunek objętości podobnych brył równy skali.