Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem $\alpha$ , $\operatorname{tg}\alpha = 3$ , krawędź podstawy $4$ . Wysokość jest równa”, „Wysokość ściany bocznej jest nachylona pod kątem $30°$ i ma długość $6$ . Oblicz objętość i pole”.

Kluczowy trójkąt

Wysokość ostrosłupa $H$ , wysokość ściany bocznej $h$ i odcinek $r$ od środka podstawy do środka krawędzi podstawy. Kąt $\alpha$ jest przy podstawie: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{r}$ , $\cos\alpha = \frac{r}{h}$ .

Podstawa (bok a)	r
kwadrat	$\frac{a}{2}$
trójkąt równoboczny	$\frac{a\sqrt{3}}{6}$
sześciokąt foremny	$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Narysuj trójkąt H–r–h
r prowadzi do środka krawędzi.
2
Oblicz brakujące odcinki
Trygonometria lub Pitagoras.
3
V i pole
$V = \frac{1}{3}P_pH$ , $P_b = n\cdot\frac{1}{2}a h$ .

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Kąt 60°

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ , a ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem $60°$ . Oblicz objętość i pole boczne.

$r = 3$ , $H = 3\operatorname{tg}60° = 3\sqrt{3}$ , $h = \frac{3}{\cos 60°} = 6$ .
$V = \frac{1}{3}\cdot 36\cdot 3\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ .
$P_b = 4\cdot\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6 = 72$ .

Odpowiedź: $V = 36\sqrt{3}$ , $P_b = 72$

Przykład 2

Dana wysokość ściany

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $10$ i jest nachylona do podstawy pod kątem $60°$ . Oblicz objętość.

$r = 10\cos 60° = 5 \Rightarrow a = 10$ ; $H = 10\sin 60° = 5\sqrt{3}$ .
$V = \frac{1}{3}\cdot 100\cdot 5\sqrt{3} = \frac{500\sqrt{3}}{3}$ .

Odpowiedź: $\frac{500\sqrt{3}}{3}$

Typowe błędy

Pomylenie kąta ściany z kątem krawędzi (inny trójkąt: r zamiast R).
Wysokość ściany $h$ wzięta jako wysokość ostrosłupa $H$ .