Objętość i pole graniastosłupa

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $3$ . Objętość jest równa”, „Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego…”.

Graniastosłupna karcie wzorów

V = P_p\cdot H, \qquad P_c = 2P_p + P_b

Podstawa (bok a)	Pole podstawy
kwadrat	$a^2$
trójkąt równoboczny	$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
sześciokąt foremny	$\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Oblicz pole podstawy
Według kształtu.
2
Wyznacz wysokość H
Często z trójkąta z przekątną ściany.
3
Policz V i/lub P_c
P_b = obwód podstawy × H.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Trójkątny

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $4$ i wysokość $5$ . Oblicz objętość i pole całkowite.

$P_p = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ , $V = 20\sqrt{3}$ .
$P_b = 3\cdot 4\cdot 5 = 60$ , $P_c = 8\sqrt{3} + 60$ .

Odpowiedź: $V = 20\sqrt{3}$ , $P_c = 60 + 8\sqrt{3}$

Przykład 2

Sześciokątny

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $2$ . Oblicz objętość.

$P_p = \frac{3\cdot 4\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ , $V = 6\sqrt{3}\cdot 2 = 12\sqrt{3}$ .

Odpowiedź: $12\sqrt{3}$

Przykład 3

Siatka

Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozłożono w prostokąt, którego przekątna ma długość $20$ i tworzy z bokiem odpowiadającym wysokości kąt $30°$ . Oblicz krawędź podstawy i wysokość.

$H = 20\cos 30° = 10\sqrt{3}$ , obwód podstawy $= 20\sin 30° = 10$ .
Krawędź podstawy: $\frac{10}{4} = 2{,}5$ .

Odpowiedź: $a = 2{,}5$ , $H = 10\sqrt{3}$

Typowe błędy

$P_c = P_p + P_b$ – w graniastosłupie są dwie podstawy.
Pole sześciokąta jak trójkąta (brak mnożenia przez $6$ ).