Przekątna i kąt nachylenia w graniastosłupie

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do podstawy pod kątem $\alpha$, $\operatorname{tg}\alpha = 2$. Wysokość jest równa”, „Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej do płaszczyzny podstawy”.

Kluczowy trójkąt

Przekątna bryły $D$, jej rzut na podstawę (przekątna podstawy $d$) i krawędź boczna (wysokość $H$) tworzą trójkąt prostokątny. Kąt nachylenia $\alpha$ leży między $D$ a $d$.

• $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{d}$, $\cos\alpha = \frac{d}{D}$, $D^2 = d^2 + H^2$.
• Podstawa – kwadrat o boku $a$: $d = a\sqrt{2}$. Prostokąt $a\times b$: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• Sześciokąt foremny o boku $a$: dłuższa przekątna $2a$, krótsza $a\sqrt{3}$.
• Prostopadłościan $a\times b\times c$: $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$; sześcian: $D = a\sqrt{3}$.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1. 1

   Narysuj trójkąt D–d–H

   Zaznacz kąt α przy podstawie.

2. 2

   Oblicz przekątną podstawy d

   Z wymiarów podstawy.

3. 3

   Użyj funkcji trygonometrycznej

   tg, sin albo cos – zależnie od danych.

Rozwiązane przykłady

Typowe błędy

• ✗Kąt między przekątną bryły a krawędzią podstawy zamiast przekątną podstawy.
• ✗Przekątna kwadratu $a\sqrt{3}$ (to przekątna sześcianu).

Na maturze