Sześcian i prostopadłościan – zależności krawędzi

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Objętość sześcianu jest równa $729$ . Przekątna jest równa”, „Krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $4$ …”, „Pole trójkąta $ACH$ jest równe $4\sqrt{3}$ . Krawędź sześcianu…”.

Sześcian o krawędzi a
przekątna ściany	$a\sqrt{2}$
przekątna sześcianu	$a\sqrt{3}$
objętość / pole	$a^3$ / $6a^2$

Krawędź $k$ razy dłuższa – objętość $k^3$ razy większa, pole $k^2$ razy.
Trójkąt z trzech przekątnych ścian (np. $ACH$ ) jest równoboczny o boku $a\sqrt{2}$ .
Suma odległości punktu wewnętrznego od wszystkich ścian sześcianu $= 3a$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wyraź wszystko przez krawędź
a albo a, b, c.
2
Ułóż równanie z danej
Objętość, pole, przekątna.
3
Oblicz szukane
Przekątną, objętość albo pole – ze wzorów w tabeli.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Przekątna z objętości

Objętość sześcianu jest równa $64$ . Oblicz długość przekątnej.

$a = 4$ , $D = 4\sqrt{3}$ .

Odpowiedź: $4\sqrt{3}$

Przykład 2

Krawędzie w ciągu

Krawędzie prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka mają długości $a$ , $2a$ , $4a$ , a pole powierzchni całkowitej jest równe $112$ . Oblicz objętość.

$P_c = 2(2a^2 + 8a^2 + 4a^2) = 28a^2 = 112 \Rightarrow a = 2$ .
$V = 2\cdot 4\cdot 8 = 64$ .

Odpowiedź: $64$

Przykład 3

Trójkąt z przekątnych ścian

W sześcianie $ABCDEFGH$ pole trójkąta $ACH$ jest równe $18\sqrt{3}$ . Oblicz krawędź.

Trójkąt równoboczny o boku $a\sqrt{2}$ : $\frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ .
$a^2 = 36 \Rightarrow a = 6$ .

Odpowiedź: $6$

Typowe błędy

Skalowanie objętości przez $k$ zamiast $k^3$ .
Mylenie przekątnej ściany z przekątną sześcianu.