Kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $12$ i jest nachylona do podstawy pod kątem $60°$ . Wysokość jest równa”, „Każda z krawędzi ostrosłupa ma długość $12$ . Wysokość jest równa”.

Kluczowy trójkąt

Wysokość $H$ , krawędź boczna $b$ i odcinek $R$ od środka podstawy do wierzchołka podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Kąt nachylenia krawędzi $\alpha$ leży przy podstawie: $\cos\alpha = \frac{R}{b}$ , $\sin\alpha = \frac{H}{b}$ .

Podstawa (bok a)	R
kwadrat	$\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (połowa przekątnej)
trójkąt równoboczny	$\frac{a\sqrt{3}}{3}$
sześciokąt foremny	$a$

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Narysuj trójkąt H–R–b
Spodek wysokości w środku podstawy.
2
Oblicz R
Z tabeli.
3
Licz: Pitagoras lub trygonometria
H² + R² = b², sin α = H/b, cos α = R/b.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Wszystkie krawędzie równe

Każda krawędź ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $8$ . Oblicz wysokość.

$R = 4\sqrt{2}$ , $H = \sqrt{64 - 32} = 4\sqrt{2}$ .

Odpowiedź: $4\sqrt{2}$

Przykład 2

Kąt 45°

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $10$ i jest nachylona do podstawy pod kątem $45°$ . Oblicz wysokość i krawędź podstawy.

$H = R = 10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ .
$R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \Rightarrow a = 10$ .

Odpowiedź: $H = 5\sqrt{2}$ , $a = 10$

Przykład 3

Ostrosłup trójkątny

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma $6\sqrt{3}$ , a krawędź boczna $10$ . Oblicz wysokość i cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej.

$R = \frac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3} = 6$ .
$H = \sqrt{100 - 36} = 8$ , $\cos\alpha = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .

Odpowiedź: $H = 8$ , $\cos\alpha = \frac{3}{5}$

Typowe błędy

Użycie połowy boku zamiast połowy przekątnej (to dla ściany bocznej).
$R = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ w trójkącie – to promień okręgu wpisanego.