Średnia z niewiadomą i średnia grup

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Średnia liczb $1, 2, 3, 4, 5, x, y$ jest równa $3$ . Suma $x + y$ jest równa”, „Średnia $a, b, c$ jest równa $12$ . Średnia $2a, 3a, 2b, 3b, 2c, 3c$ jest równa”, „W pierwszej szkole jest trzy razy więcej uczniów…”.

Kluczowe przekształcenie: suma = średnia $\times$ liczba danych.
Średnia dwóch grup: $\frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2}$ – nie zwykła średnia dwóch średnich.
Dodanie stałej do każdej danej zwiększa średnią o tę stałą; pomnożenie przez $k$ – mnoży średnią przez $k$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zamień średnią na sumę
Suma = średnia · n.
2
Ułóż równanie
Z niewiadomą lub z sumą grup.
3
Oblicz i sprawdź sens
Średnia grup leży między średnimi grup.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Dopisana liczba

Średnia sześciu liczb jest równa $8$ . Po dopisaniu liczby $x$ średnia wynosi $9$ . Wyznacz $x$ .

Suma sześciu: $48$ ; suma siedmiu: $63$ .
$x = 63 - 48 = 15$ .

Odpowiedź: $15$

Przykład 2

Przekształcone dane

Średnia liczb $a, b, c, d$ jest równa $5$ . Oblicz średnią liczb $3a, 3b, 3c, 3d$ oraz liczb $a + 2, b + 2, c + 2, d + 2$ .

Mnożenie przez $3$ : średnia $15$ . Dodanie $2$ : średnia $7$ .

Odpowiedź: $15$ i $7$

Przykład 3

Dwie grupy

W klasie A jest $20$ uczniów ze średnią $4$ , w klasie B – $30$ uczniów ze średnią $3{,}5$ . Oblicz średnią wszystkich uczniów.

$\frac{20\cdot 4 + 30\cdot 3{,}5}{50} = \frac{80 + 105}{50} = 3{,}7$ .

Odpowiedź: $3{,}7$

Typowe błędy

Średnia dwóch grup jako $\frac{\bar{x}_1 + \bar{x}_2}{2}$ przy różnych liczebnościach.
Dzielenie przez starą liczbę danych po dopisaniu nowej.