Rozwiąż nierówność kwadratową – zadanie otwarte

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Rozwiąż nierówność $x(x - 6) \le 7$ . Zapisz obliczenia.” – w każdym arkuszu, zadanie otwarte za 2 pkt: 1 pkt za miejsca zerowe, 2 pkt za poprawny zbiór.

Odczyt z paraboli

$a > 0$ (ramiona w górę): $< 0$ między pierwiastkami, $> 0$ na zewnątrz.
$a < 0$ (ramiona w dół): odwrotnie – $> 0$ między pierwiastkami.
$\le$ , $\ge$ – pierwiastki należą do zbioru (nawiasy kwadratowe).

$x^2 + 2x - 3 < 0$: parabola pod osią między pierwiastkami $-3$ i $1$.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Przenieś wszystko na jedną stronę
Po prawej ma zostać $0$ : $x^2 - 6x - 7 \le 0$ .
2
Oblicz miejsca zerowe
Delta albo rozkład na czynniki. Zapisz je wyraźnie – to 1 punkt.
3
Naszkicuj parabolę
Zaznacz pierwiastki na osi i kierunek ramion.
4
Odczytaj i zapisz zbiór
W postaci przedziału, np. $x \in [-1, 7]$ .

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Między pierwiastkami

Rozwiąż nierówność $x(x + 2) < 3$ .

$x^2 + 2x - 3 < 0$ .
$\Delta = 4 + 12 = 16$ , $x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3$ , $x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$ .
$a = 1 > 0$ , szukamy wartości ujemnych – między pierwiastkami, bez końców.

Odpowiedź: $x \in (-3, 1)$

Przykład 2

Na zewnątrz

Rozwiąż nierówność $2x^2 \ge 5x + 3$ .

$2x^2 - 5x - 3 \ge 0$ .
$\Delta = 25 + 24 = 49$ , $x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$ , $x_2 = \frac{5 + 7}{4} = 3$ .
$a > 0$ , wartości nieujemne – na zewnątrz, z końcami.

Odpowiedź: $x \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right] \cup [3, +\infty)$

Przykład 3

Ujemne a

Rozwiąż nierówność $-x^2 + 4x > 3$ .

$-x^2 + 4x - 3 > 0$ ; mnożymy przez $-1$ : $x^2 - 4x + 3 < 0$ .
$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$ , pierwiastki $1$ i $3$ .
Wartości ujemne paraboli z $a > 0$ – między pierwiastkami.

Odpowiedź: $x \in (1, 3)$

Typowe błędy

Rozwiązanie „ $x < 1$ i $x < -3$ ” zamiast przedziału – zapis jak przy równaniu.
Brak odwrócenia znaku przy mnożeniu przez $-1$ .
Zły nawias przy nierówności nieostrej.
Odczyt „między pierwiastkami” bez sprawdzenia kierunku ramion.