Nierówność kwadratowa w postaci iloczynowej i z parametrem

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Zbiorem rozwiązań nierówności $-2(x + 3)(x - 2) > 0$ jest”, „Rozwiązaniem nierówności $(3x - 9)(x + k) < 0$ jest przedział $(-2, 3)$ . Liczba $k$ jest równa”.

Pierwiastki odczytujesz z czynników: $(x + 3) \to -3$ , $(3x - 9) \to 3$ , $(5 - x) \to 5$ .
Znak $a$ to iloczyn współczynników przy $x$ we wszystkich czynnikach: w $-2(x + 3)(x - 2)$ mamy $a = -2$ ; w $(x - 1)(5 - x)$ – $a = -1$ .
Szczególne przypadki: $(x - 2)^2 > 0$ dla $x \neq 2$ ; $(x - 2)^2 \le 0$ tylko dla $x = 2$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Odczytaj pierwiastki z czynników
Każdy czynnik przyrównaj do zera.
2
Ustal znak a
Pomnóż współczynniki przy x (i liczbę przed nawiasami).
3
Odczytaj zbiór z paraboli
Między pierwiastkami albo na zewnątrz.
4
Z parametrem – porównaj końce przedziału
Końce przedziału rozwiązań to pierwiastki trójmianu.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Ujemne a

Rozwiąż nierówność $(x - 1)(5 - x) \ge 0$ .

Pierwiastki: $1$ i $5$ .
$a = 1\cdot(-1) = -1 < 0$ – ramiona w dół, nieujemne wartości między pierwiastkami.

Odpowiedź: $x \in [1, 5]$

Przykład 2

Liczba przed nawiasami

Rozwiąż nierówność $(2x + 4)(x - 3) < 0$ .

Pierwiastki: $-2$ i $3$ ; $a = 2 > 0$ .
Wartości ujemne – między pierwiastkami.

Odpowiedź: $x \in (-2, 3)$

Przykład 3

Parametr

Zbiorem rozwiązań nierówności $(x - m)(x + 4) \le 0$ jest przedział $[-4, 6]$ . Wyznacz $m$ .

Końce przedziału to pierwiastki: $-4$ (z czynnika $x + 4$ ) i $m$ .
Drugi koniec to $6$ , więc $m = 6$ .

Odpowiedź: $m = 6$

Typowe błędy

Pominięcie liczby ujemnej przed nawiasami przy ustalaniu kierunku ramion.
Odczytanie pierwiastka $3x - 9 = 0$ jako $9$ zamiast $3$ .