Równanie wielomianowe – grupowanie wyrazów

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

Równanie trzeciego stopnia z czterema wyrazami, np. $3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0$ albo $2x^3 + 3x^2 = 10x + 15$ (wtedy najpierw przenieś wszystko na lewo). Zadanie otwarte za 3 pkt.

Jak grupować

Łączysz pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy. Z pierwszej pary wyłączasz $x^2$ (i liczbę), z drugiej – liczbę, tak by w obu nawiasach wyszło to samo.

$3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = x^2(3x - 2) - 4(3x - 2) = (3x - 2)(x^2 - 4)$ .
Gdy druga para zaczyna się minusem, wyłączasz liczbę ujemną: $-12x + 8 = -4(3x - 2)$ .
Na końcu rozkładasz $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ albo rozwiązujesz $x^2 = 2$ itp.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Przenieś wszystko na lewą stronę
Po prawej $0$ ; uporządkuj malejąco.
2
Pogrupuj w pary
Wyłącz z każdej pary tak, by nawiasy były równe.
3
Wyłącz wspólny nawias
$(3x - 2)(x^2 - 4) = 0$ .
4
Przyrównaj czynniki do zera
$3x - 2 = 0$ lub $x^2 - 4 = 0$ .
5
Wypisz wszystkie rozwiązania
$x = \frac{2}{3}$ , $x = -2$ , $x = 2$ .

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Standardowe grupowanie

Rozwiąż równanie $2x^3 - x^2 - 8x + 4 = 0$ .

$x^2(2x - 1) - 4(2x - 1) = 0$ .
Z $-8x + 4$ wyłączamy $-4$ : zostaje $2x - 1$ .
$(2x - 1)(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow (2x - 1)(x - 2)(x + 2) = 0$ .
$x = \frac{1}{2}$ lub $x = 2$ lub $x = -2$ .

Odpowiedź: $x \in \left\{-2, \frac{1}{2}, 2\right\}$

Przykład 2

Najpierw przeniesienie

Rozwiąż równanie $2x^3 + 3x^2 = 8x + 12$ .

$2x^3 + 3x^2 - 8x - 12 = 0$ .
$x^2(2x + 3) - 4(2x + 3) = 0 \Rightarrow (2x + 3)(x^2 - 4) = 0$ .
$x = -\frac{3}{2}$ lub $x = 2$ lub $x = -2$ .

Odpowiedź: $x \in \left\{-2, -\frac{3}{2}, 2\right\}$

Przykład 3

Czynnik bez rozwiązań

Rozwiąż równanie $x^3 - 5x^2 + 3x - 15 = 0$ .

$x^2(x - 5) + 3(x - 5) = (x - 5)(x^2 + 3) = 0$ .
$x^2 + 3 > 0$ dla każdego $x$ – ten czynnik nie daje rozwiązań.

Odpowiedź: $x = 5$

Przykład 4

Pierwiastki niewymierne

Rozwiąż równanie $x^3 + 2x^2 - 3x - 6 = 0$ .

$x^2(x + 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 3) = 0$ .
$x = -2$ lub $x^2 = 3$ , czyli $x = \pm\sqrt{3}$ .

Odpowiedź: $x \in \{-2, -\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$

Typowe błędy

Zły znak przy wyłączaniu z drugiej pary – nawiasy wychodzą różne i grupowanie „nie działa”.
Dzielenie równania przez $(x - 5)$ bez zapisania rozwiązania $x = 5$ .
Rozwiązanie $x^2 = 3$ jako tylko $x = \sqrt{3}$ .