Trójkąty podobne – proporcje boków

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

Na rysunku są dwa trójkąty z równymi kątami (wierzchołkowymi, prostymi, przy równoległych) albo w treści: „trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne”. Pytanie o długość odcinka.

Cecha kkk: dwa kąty równe – trójkąty podobne.
Typowe sytuacje: odcinek równoległy do boku; dwa trójkąty prostokątne ze wspólnym kątem; „klepsydra” z kątami wierzchołkowymi.
Odpowiadające boki leżą naprzeciw równych kątów.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Znajdź dwa równe kąty
Uzasadnij podobieństwo.
2
Dopasuj wierzchołki
Równe kąty – odpowiadające wierzchołki.
3
Ułóż proporcję
Znany bok / odpowiadający znany bok = szukany / odpowiadający.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Odcinek równoległy do boku

W trójkącie $ABC$ odcinek $DE$ jest równoległy do $AB$ ( $D \in AC$ , $E \in BC$ ), $|CD| = 4$ , $|DA| = 2$ , $|DE| = 6$ . Oblicz $|AB|$ .

$\triangle CDE \sim \triangle CAB$ (wspólny kąt $C$ , kąty odpowiadające przy równoległych).
$\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|CA|}{|CD|} = \frac{6}{4} \Rightarrow |AB| = 9$ .

Odpowiedź: $9$

Przykład 2

Wysokość w trójkącie prostokątnym

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $6$ i $8$ poprowadzono wysokość na przeciwprostokątną. Na jakie odcinki dzieli ona przeciwprostokątną?

Przeciwprostokątna $10$ . Mały trójkąt przy boku $6$ jest podobny do całego (wspólny kąt i kąt prosty).
$\frac{x}{6} = \frac{6}{10} \Rightarrow x = 3{,}6$ ; drugi odcinek $10 - 3{,}6 = 6{,}4$ .

Odpowiedź: $3{,}6$ i $6{,}4$

Przykład 3

Podobieństwo z treści

W trójkącie równoramiennym $ABC$ : $|AC| = |BC| = 6$ , $|AB| = 4$ . Punkt $D$ na $BC$ jest taki, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne. Oblicz $|BD|$ .

Z kolejności wierzchołków: $A \to B$ , $B \to D$ , $C \to A$ . Stąd $\frac{|BD|}{|AB|} = \frac{|AB|}{|CA|}$ .
$|BD| = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$ .

Odpowiedź: $\frac{8}{3}$

Typowe błędy

Proporcja z boków, które sobie nie odpowiadają.
Użycie $|DA|$ zamiast $|CA|$ (części zamiast całości).