Pola figur złożonych i figur z kołem

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Z wierzchołka kwadratu zakreślono koło o promieniu równym bokowi. Pole części wspólnej…”, „Sześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu $1$ . Pole części koła poza sześciokątem…”.

Rozłóż figurę na części, których pola znasz (wycinek, trójkąt, kwadrat).
„Część poza” = większa figura − mniejsza figura.
Sześciokąt foremny o boku $a$ = $6$ trójkątów równobocznych: $P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ ; wpisany w koło ma bok równy promieniowi.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Narysuj i podziel figurę
Zaznacz promienie, kąty środkowe.
2
Policz pola części
Wycinki, trójkąty, wielokąty.
3
Dodaj lub odejmij
Wynik zostaw z π.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Ćwiartka koła w kwadracie

Kwadrat ma bok $6$ . Z jego wierzchołka zakreślono koło o promieniu $6$ . Oblicz pole części wspólnej koła i kwadratu.

Częścią wspólną jest ćwiartka koła (kąt kwadratu $90°$ ).
$\frac{1}{4}\cdot\pi\cdot 36 = 9\pi$ .

Odpowiedź: $9\pi$

Przykład 2

Koło poza kwadratem

Kwadrat o boku $4$ wpisano w koło. Oblicz pole części koła leżącej poza kwadratem.

Promień = połowa przekątnej: $r = 2\sqrt{2}$ , pole koła $8\pi$ .
$8\pi - 16$ .

Odpowiedź: $8\pi - 16$

Przykład 3

Sześciokąt w kole

Sześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu $2$ . Oblicz pole części koła poza sześciokątem.

Bok sześciokąta $2$ : $P_6 = \frac{3\cdot 4\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ .
$4\pi - 6\sqrt{3}$ .

Odpowiedź: $4\pi - 6\sqrt{3}$

Typowe błędy

Pomylenie promienia koła opisanego na kwadracie (połowa przekątnej) z połową boku.