Okrąg wpisany i opisany

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa”, „W okrąg o promieniu $9\sqrt{3}$ wpisano trójkąt równoboczny. Bok ma długość”, „Środek okręgu wpisanego leży w punkcie przecięcia…”.

Trójkąt	R (opisany)	r (wpisany)
prostokątny	$\frac{c}{2}$	$\frac{a + b - c}{2}$
równoboczny	$\frac{a\sqrt{3}}{3}$	$\frac{a\sqrt{3}}{6}$
dowolny	$\frac{a}{2\sin\alpha}$	$\frac{2P}{a + b + c}$

Środek okręgu wpisanego – przecięcie dwusiecznych kątów.
Środek okręgu opisanego – przecięcie symetralnych boków; w trójkącie prostokątnym – środek przeciwprostokątnej.
W trójkącie równobocznym $R = 2r$ i oba to $\frac{2}{3}$ i $\frac{1}{3}$ wysokości.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Rozpoznaj rodzaj trójkąta
Prostokątny? Równoboczny?
2
Wybierz wzór
Z tabeli.
3
Licz
Pamiętaj o usunięciu niewymierności.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $6$ i $8$ . Oblicz $R$ i $r$ .

$c = 10$ , $R = 5$ .
$r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2$ .

Odpowiedź: $R = 5$ , $r = 2$

Przykład 2

Równoboczny w okręgu

W okrąg o promieniu $6$ wpisano trójkąt równoboczny. Oblicz jego bok i promień okręgu wpisanego.

$\frac{a\sqrt{3}}{3} = 6 \Rightarrow a = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ .
$r = \frac{R}{2} = 3$ .

Odpowiedź: $a = 6\sqrt{3}$ , $r = 3$

Przykład 3

Trójkąt równoramienny

Trójkąt ma boki $5$ , $5$ , $6$ . Oblicz promień okręgu wpisanego.

Wysokość na podstawę: $\sqrt{25 - 9} = 4$ , $P = 12$ .
$r = \frac{2\cdot 12}{16} = 1{,}5$ .

Odpowiedź: $1{,}5$

Typowe błędy

Zamiana wzorów R i r w trójkącie równobocznym.
Środek okręgu wpisanego w punkcie przecięcia wysokości lub środkowych (to prawda tylko w równobocznym).