Działania na pierwiastkach

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Liczba $3\sqrt{45} - \sqrt{20}$ jest równa”, „Liczba $\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{192}$ jest równa”, „Liczba $\frac{\sqrt[3]{-64} + \sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}$ jest równa”.

Reguły

• $\sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ oraz $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (dla $a, b \ge 0$).
• Wyłączanie czynnika: szukasz największego kwadratu (sześcianu) w rozkładzie: $\sqrt{45} = \sqrt{9\cdot 5} = 3\sqrt{5}$, $\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8\cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$.
• Dodawać można tylko pierwiastki z tej samej liczby: $3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$, ale $\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}$.
• Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej istnieje: $\sqrt[3]{-27} = -3$, $\sqrt[5]{-32} = -2$. Pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej – nie istnieje.
• Usuwanie niewymierności: $\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$; przy $\frac{1}{\sqrt{a} - b}$ mnożysz przez $\sqrt{a} + b$ (różnica kwadratów).

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1. 1

   Rozłóż liczby pod pierwiastkami

   Wypisz największy kwadrat (lub sześcian) jako czynnik: $50 = 25\cdot 2$.

2. 2

   Wyłącz czynniki

   $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Pilnuj liczby, która stała przed pierwiastkiem: $2\sqrt{50} = 10\sqrt{2}$.

3. 3

   Zredukuj podobne

   Dodaj współczynniki przy tym samym pierwiastku.

4. 4

   Uprość ułamek

   Usuń niewymierność z mianownika, jeśli odpowiedzi tego wymagają.

Rozwiązane przykłady

Typowe błędy

• ✗$\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ – nieprawda: $\sqrt{9 + 16} = 5$, a $3 + 4 = 7$.
• ✗Zgubienie liczby przed pierwiastkiem przy wyłączaniu: $3\sqrt{45} = 3\cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$, nie $3\sqrt{5}$.
• ✗Uznanie, że $\sqrt[3]{-27}$ nie istnieje – pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych istnieją.

Na maturze