Suma potęg – wyłączanie przed nawias i podzielność

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

• Zamknięte: „Liczba $\frac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}}$ jest równa”, „Wartość $6^{100} + 6^{100} + \ldots + 6^{100}$ (sześć razy) jest równa”.
• Otwarte (2 pkt): „Wykaż, że liczba $8^{50} - 2^{145}$ jest podzielna przez $31$”, „Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n \ge 0$ liczba $7^n + 7^{n+1} + 7^{n+2}$ jest podzielna przez $19$”.

Kluczowy trik

Potęg nie dodaje się przez dodawanie wykładników. Zamiast tego sprowadzasz je do wspólnej podstawy i wyłączasz najmniejszą potęgę przed nawias: $a^{n} + a^{n+1} + a^{n+2} = a^n(1 + a + a^2)$.

• $2^{n+3} = 2^n\cdot 2^3 = 8\cdot 2^n$ – wykładnik „rozbijasz” na sumę.
• $k$ jednakowych potęg: $\underbrace{a^n + \ldots + a^n}_{k} = k\cdot a^n$; gdy $k = a$, to $a\cdot a^n = a^{n+1}$.
• Po wyłączeniu w nawiasie zostaje zwykła liczba – to ona daje podzielność, np. $1 + 7 + 49 = 57 = 3\cdot 19$.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1. 1

   Sprowadź do wspólnej podstawy

   $8^{50} = (2^3)^{50} = 2^{150}$, $16^{24} = 2^{96}$.

2. 2

   Wyłącz najmniejszą potęgę

   $2^{150} - 2^{145} = 2^{145}(2^5 - 1)$.

3. 3

   Oblicz nawias

   $2^5 - 1 = 31$.

4. 4

   Zapisz wniosek

   $31\cdot 2^{145}$ – iloczyn $31$ i liczby całkowitej, więc liczba jest podzielna przez $31$.

Rozwiązane przykłady

Typowe błędy

• ✗$5^{12} + 5^{13} = 5^{25}$ – dodawanie wykładników działa tylko przy mnożeniu potęg.
• ✗Wyłączenie złej potęgi: $2^{150} - 2^{145} = 2^{150}(1 - 2^{-5})$ – poprawne, ale nic nie daje. Wyłączaj najmniejszą.
• ✗Brak wniosku w dowodzie – trzeba napisać, że liczba jest iloczynem dzielnika i liczby całkowitej.

Na maturze