Wyrażenia z potęgami – wspólna podstawa

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

Zadanie zamknięte: „Liczba $\frac{9^4}{3^{-20}}$ jest równa”, „Liczba $\left(\frac{4}{25}\right)^{-0{,}5}$ jest równa”. W odpowiedziach są potęgi jednej liczby albo zwykłe liczby.

Słownik potęg – warto znać na pamięć

Podstawa 2	Podstawa 3	Podstawa 5
$4 = 2^2$ , $8 = 2^3$	$9 = 3^2$	$25 = 5^2$
$16 = 2^4$ , $32 = 2^5$	$27 = 3^3$ , $81 = 3^4$	$125 = 5^3$
$64 = 2^6$ , $256 = 2^8$	$243 = 3^5$	$625 = 5^4$

Trzy zamiany

Pierwiastek na potęgę: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ , np. $\sqrt[3]{8^2} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^2$ .
Wykładnik ujemny: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , a $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ .
Ułamek dziesiętny w wykładniku: $0{,}5 = \frac{1}{2}$ , $2{,}4 = \frac{12}{5}$ , $-0{,}25 = -\frac{1}{4}$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wybierz podstawę
Najmniejszą liczbę pierwszą, z której zbudujesz wszystkie podstawy ( $2$ , $3$ albo $5$ ).
2
Przepisz każdą liczbę jako potęgę tej podstawy
$9^4 = (3^2)^4 = 3^8$ , $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ .
3
Działaj na wykładnikach
Mnożenie – dodajesz, dzielenie – odejmujesz, potęga potęgi – mnożysz.
4
Porównaj z odpowiedziami
Jeśli odpowiedzi są liczbami – oblicz potęgę na końcu.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Iloraz potęg

Liczba $\frac{27^4\cdot 9^{-3}}{3^5}$ jest równa

$27^4 = (3^3)^4 = 3^{12}$ , $9^{-3} = (3^2)^{-3} = 3^{-6}$ .
Licznik: $3^{12}\cdot 3^{-6} = 3^{6}$ .
$\frac{3^6}{3^5} = 3^{1} = 3$ .

Odpowiedź: $3$

Przykład 2

Wykładnik ujemny i ułamkowy

Liczba $\left(\frac{4}{9}\right)^{-1{,}5}$ jest równa

$-1{,}5 = -\frac{3}{2}$ , a ujemny wykładnik odwraca ułamek: $\left(\frac{9}{4}\right)^{\frac{3}{2}}$ .
Potęga $\frac{1}{2}$ to pierwiastek: $\left(\frac{9}{4}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}$ .
Teraz do sześcianu: $\left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}$ .

Odpowiedź: $\frac{27}{8}$

Przykład 3

Pierwiastek z pierwiastka

Liczba $\sqrt[3]{2\sqrt{2}}$ jest równa

$2\sqrt{2} = 2^1\cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$ .
Pierwiastek trzeciego stopnia to potęga $\frac{1}{3}$ : $\left(2^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{2}}$ .

Odpowiedź: $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

Przykład 4

Różne podstawy w jednym wyrażeniu

Liczba $\left(\frac{1}{8}\right)^{4}\cdot 16^{3}$ jest równa

$\frac{1}{8} = 2^{-3}$ , więc $\left(\frac{1}{8}\right)^4 = 2^{-12}$ .
$16^3 = (2^4)^3 = 2^{12}$ .
$2^{-12}\cdot 2^{12} = 2^0 = 1$ .

Odpowiedź: $1$

Typowe błędy

$(2^3)^4 = 2^7$ – źle, potęga potęgi to iloczyn wykładników: $2^{12}$ .
$2^3\cdot 3^3 = 6^9$ – źle: $2^3\cdot 3^3 = 6^3$ (te same wykładniki, mnożysz podstawy).
$a^{-n} = -a^n$ – ujemny wykładnik to odwrotność, nie zmiana znaku.
Zgubienie minusa przy podstawie ujemnej i nieparzystym wykładniku: $(-2)^3 = -8$ .