Losowanie ze zwracaniem i bez zwracania

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie są nieparzyste.” – zadanie otwarte za 2 pkt.

Losowanie dwóch z n elementów	\|Ω\|
ze zwracaniem	$n\cdot n = n^2$
bez zwracania	$n\cdot(n - 1)$

Bez zwracania – ta sama liczba nie może wypaść dwa razy (brak par (a, a)).
Wyniki to pary uporządkowane – (2, 5) i (5, 2) to dwa różne wyniki.
Sprzyjające: reguła mnożenia albo wypisanie / tabela.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Ustal, czy ze zwracaniem
I policz |Ω|.
2
Policz pary sprzyjające
Reguła mnożenia albo wypisanie.
3
Podziel i skróć
Wynik jako ułamek nieskracalny.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Bez zwracania – suma

Ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że ich suma jest równa $7$ .

$|\Omega| = 6\cdot 5 = 30$ .
$(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)$ – $6$ .

Odpowiedź: $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$

Przykład 2

Bez zwracania – reguła mnożenia

Ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie są parzyste.

$|\Omega| = 7\cdot 6 = 42$ ; parzyste $\{2, 4, 6\}$ : $3\cdot 2 = 6$ .

Odpowiedź: $\frac{6}{42} = \frac{1}{7}$

Przykład 3

Ze zwracaniem

Ze zbioru $\{1, 2, 3, 4\}$ losujemy ze zwracaniem dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma jest parzysta.

$|\Omega| = 16$ . Suma parzysta: obie parzyste ( $2\cdot 2$ ) lub obie nieparzyste ( $2\cdot 2$ ): $8$ .

Odpowiedź: $\frac{1}{2}$

Typowe błędy

$|\Omega| = n^2$ przy losowaniu bez zwracania.
Liczenie pary (a, b) i pominięcie (b, a).