Przejdź do treści
Maturka

Trygonometria · typ zadania · temat 2 z 2

Funkcje trygonometryczne kąta rozwartego

Funkcje trygonometryczne kąta rozwartego: wzory redukcyjne 180°−α180° - \alpha i znaki – cosinus i tangens są ujemne.

7 min czytania

Teoria do tego typu zadań: Tożsamości i kąty dowolne

Spis treści
  1. 1.Co musisz wiedzieć
  2. 2.Schemat krok po kroku
  3. 3.Rozwiązane przykłady
  4. 4.Typowe błędy
  5. 5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Kąt α\alpha jest rozwarty oraz sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5}. Cosinus kąta α\alpha jest równy”, „Oblicz sin⁡150°\sin 150°”.

Wzory redukcyjnena karcie wzorów
sin⁡(180°−α)=sin⁡α,cos⁡(180°−α)=−cos⁡α,tg⁡(180°−α)=−tg⁡α\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha,\quad \cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha,\quad \operatorname{tg}(180° - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha
  • Dla kąta rozwartego: sin⁡>0\sin > 0, cos⁡<0\cos < 0, tg⁡<0\operatorname{tg} < 0.
  • Z jedynki: cos⁡α=−1−sin⁡2α\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} (minus, bo kąt rozwarty).

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

  1. 1

    Zapisz jedynkę

    cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha.

  2. 2

    Wybierz znak

    Rozwarty – cosinus ujemny.

  3. 3

    Tangens

    tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} – też ujemny.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Sinus → cosinus i tangens

Kąt α\alpha jest rozwarty i sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5}. Oblicz cos⁡α\cos\alpha i tg⁡α\operatorname{tg}\alpha.

  1. cos⁡2α=1−925=1625\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}, kąt rozwarty: cos⁡α=−45\cos\alpha = -\frac{4}{5}.

  2. tg⁡α=3/5−4/5=−34\operatorname{tg}\alpha = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}.

Odpowiedź: cos⁡α=−45\cos\alpha = -\frac{4}{5}, tg⁡α=−34\operatorname{tg}\alpha = -\frac{3}{4}

Przykład 2

Wzory redukcyjne

Oblicz sin⁡150°+cos⁡120°+tg⁡135°\sin 150° + \cos 120° + \operatorname{tg} 135°.

  1. sin⁡150°=sin⁡30°=12\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}; cos⁡120°=−cos⁡60°=−12\cos 120° = -\cos 60° = -\frac{1}{2}; tg⁡135°=−tg⁡45°=−1\operatorname{tg} 135° = -\operatorname{tg} 45° = -1.

Odpowiedź: −1-1

Przykład 3

Tangens z pierwiastkiem

Kąt α\alpha jest rozwarty i sin⁡α=13\sin\alpha = \frac{1}{3}. Oblicz tg⁡α\operatorname{tg}\alpha.

  1. cos⁡α=−1−19=−223\cos\alpha = -\sqrt{1 - \frac{1}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}.

  2. tg⁡α=1/3−22/3=−122=−24\operatorname{tg}\alpha = \frac{1/3}{-2\sqrt{2}/3} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}.

Odpowiedź: −24-\frac{\sqrt{2}}{4}

Typowe błędy

  • Dodatni cosinus kąta rozwartego.
  • sin⁡(180°−α)=−sin⁡α\sin(180° - \alpha) = -\sin\alpha – źle, sinus się nie zmienia.

Na maturze

Koniec lekcji

Oznacz ją jako przeczytaną, żeby odblokować zadania.