Obliczanie wartości bezwzględnej liczby

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Liczba $|\sqrt{5} - 3| + |\sqrt{5} - 1|$ jest równa”, „Wartość wyrażenia $|2 - \pi|$ jest równa”.

Definicja wartości bezwzględnej

|a| = \begin{cases} a & \text{dla } a \ge 0 \\ -a & \text{dla } a < 0 \end{cases}

Najpierw ustalasz znak wyrażenia między kreskami. Dodatnie przepisujesz bez zmian, ujemne – zmieniasz na przeciwne (zamieniasz kolejność odejmowania).

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Ustal znak każdego wyrażenia
$\sqrt{5} - 3$ : $\sqrt{5} < 3$ , więc wyrażenie jest ujemne.
2
Opuść kreski
Ujemne: $|\sqrt{5} - 3| = 3 - \sqrt{5}$ . Dodatnie: bez zmian.
3
Zredukuj
Pierwiastki często się skracają.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Suma dwóch wartości bezwzględnych

Liczba $|2 - \sqrt{7}| + |\sqrt{7} - 3|$ jest równa

$\sqrt{7} \approx 2{,}65$ , więc $2 - \sqrt{7} < 0$ i $|2 - \sqrt{7}| = \sqrt{7} - 2$ .
$\sqrt{7} < 3$ , więc $|\sqrt{7} - 3| = 3 - \sqrt{7}$ .
$\sqrt{7} - 2 + 3 - \sqrt{7} = 1$ .

Odpowiedź: $1$

Przykład 2

Liczba π

Oblicz $|\pi - 4| - |3 - \pi|$ .

$\pi < 4$ : $|\pi - 4| = 4 - \pi$ .
$\pi > 3$ : $|3 - \pi| = \pi - 3$ .
$4 - \pi - (\pi - 3) = 7 - 2\pi$ .

Odpowiedź: $7 - 2\pi$

Przykład 3

Wyrażenie ze zmienną

Dla $x < -2$ uprość wyrażenie $|x + 2| + x$ .

Dla $x < -2$ mamy $x + 2 < 0$ , więc $|x + 2| = -x - 2$ .
$-x - 2 + x = -2$ .

Odpowiedź: $-2$

Typowe błędy

„Kreski zmieniają minusy na plusy”: $|\sqrt{5} - 3| = \sqrt{5} + 3$ – źle. Zmienia się znak całego wyrażenia.
Opuszczenie kresek bez sprawdzenia znaku.