Spis treści
Co musisz wiedzieć
Jak rozpoznać to zadanie
- „Na którym rysunku zaznaczono zbiór rozwiązań nierówności ∣x−5∣<2?”
- „Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem rozwiązań nierówności…” – odczyt w drugą stronę.
- „Liczba wszystkich całkowitych rozwiązań nierówności ∣x+1∣<3 jest równa”.
Dwa przypadki
| Nierówność | Znaczenie | Zbiór rozwiązań |
|---|
| ∣x−a∣<r | odległość od a mniejsza niż r | (a−r, a+r) – jeden przedział |
| ∣x−a∣≤r | co najwyżej r | [a−r, a+r] |
| ∣x−a∣>r | więcej niż r | (−∞, a−r)∪(a+r, +∞) |
| ∣x−a∣≥r | co najmniej r | (−∞, a−r]∪[a+r, +∞) |
Schemat krok po kroku
Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:
- 1
Odczytaj środek a i promień r
∣x+1∣<3: środek −1, promień 3.
- 2
Wybierz typ zbioru
<, ≤ – przedział „w środku”; >, ≥ – dwa przedziały „na zewnątrz”.
- 3
Zapisz końce
a−r i a+r. Kółko pełne przy ≤, ≥; puste przy <, >.
- 4
Jeśli pytają o liczby całkowite – wypisz je
W (−4,2): −3,−2,−1,0,1 – pięć liczb.
Rozwiązane przykłady
Przykład 1
Przedział w środku
Rozwiąż nierówność ∣x−5∣<2.
Środek 5, promień 2.
5−2<x<5+2, czyli 3<x<7.
Odpowiedź: x∈(3,7)
Rozwiąż nierówność ∣x−1∣≥3.
Środek 1, promień 3: końce −2 i 4.
„Co najmniej 3 od jedynki” – na zewnątrz, z końcami.
Odpowiedź: x∈(−∞,−2]∪[4,+∞)
Przykład 3
Nierówność z rysunku
Na osi zaznaczono zbiór (−∞,−6]∪[2,+∞). Zapisz nierówność z wartością bezwzględną, której to jest zbiór rozwiązań.
Środek: 2−6+2=−2, promień: 2−(−2)=4.
Zbiór „na zewnątrz” z końcami → ≥. Środek −2 daje nawias x+2.
Odpowiedź: ∣x+2∣≥4
Przykład 4
Liczby całkowite
Ile liczb całkowitych dodatnich spełnia nierówność ∣x+5∣<15?
−5−15<x<−5+15, czyli −20<x<10.
Dodatnie całkowite: 1,2,…,9.
Odpowiedź: 9
Typowe błędy
- ✗Pomylenie typu zbioru: ∣x−1∣≥3 to nie przedział [−2,4].
- ✗Zły środek przy plusie w nawiasie: ∣x+2∣ ma środek −2.
- ✗Liczenie końców przedziału otwartego jako rozwiązań całkowitych.