Logarytm z definicji

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Liczba $\log_{\sqrt{3}} 9$ jest równa”, „Liczba $\log_5\sqrt[3]{25}$ jest równa”, „Wartość $f(x) = -\log x$ dla $x = \sqrt{10}$ jest równa”.

Definicja

$\log_a b = c \iff a^c = b$, gdzie $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$. Logarytm to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać liczbę.

• $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$, $\log_a a^c = c$.
• $\log x$ (bez podstawy) to $\log_{10} x$.
• Pierwiastek i ułamek zamieniasz na potęgę: $\sqrt[3]{25} = 5^{\frac{2}{3}}$, $\frac{1}{8} = 2^{-3}$.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1. 1

   Zapisz równanie z definicji

   $\log_a b = c \iff a^c = b$.

2. 2

   Sprowadź a i b do wspólnej podstawy

   Najczęściej liczby pierwszej: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$, $9 = 3^2$.

3. 3

   Porównaj wykładniki

   $3^{\frac{c}{2}} = 3^2$, więc $\frac{c}{2} = 2$.

4. 4

   Oblicz c

   Wynik może być ujemny lub ułamkowy – to normalne.

Rozwiązane przykłady

Typowe błędy

• ✗Odwrócenie definicji: $\log_2 8 = c \iff 8^c = 2$ – źle, to podstawa jest potęgowana: $2^c = 8$.
• ✗$\log_a 1 = 1$ – źle, $\log_a 1 = 0$, bo $a^0 = 1$.
• ✗Gubienie minusa: $\log_2\frac{1}{4} = 2$ – powinno być $-2$.

Na maturze