Działania na logarytmach

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Liczba $\log_3 108 - 2\log_3 2$ jest równa”, „Wyrażenie $\log_7 x + 6\log_7 y$ jest równe”, „Wybierz dwie prawdziwe równości”, „Oceń prawdziwość: $2 + \log_3 5 = \log_3 10$ ”.

Trzy wzory (dla tej samej podstawy)

Logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi

\log_a x + \log_a y = \log_a(xy) \qquad \log_a x - \log_a y = \log_a\frac{x}{y} \qquad k\log_a x = \log_a x^k

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Sprawdź podstawy
Łączyć możesz tylko logarytmy o tej samej podstawie.
2
Liczby przed logarytmami wstaw do wykładnika
$2\log_3 2 = \log_3 4$ , $\frac{1}{2}\log_5 625 = \log_5 25$ .
3
Połącz w jeden logarytm
Suma → iloczyn, różnica → iloraz.
4
Oblicz z definicji
$\log_3\frac{108}{4} = \log_3 27 = 3$ .

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Suma logarytmów

Liczba $\log_6 9 + \log_6 4$ jest równa

$\log_6(9\cdot 4) = \log_6 36$ .
$36 = 6^2$ , więc wynik to $2$ .

Odpowiedź: $2$

Przykład 2

Liczba przed logarytmem i różnica

Liczba $3\log_5 10 - \log_5 8$ jest równa

$3\log_5 10 = \log_5 10^3 = \log_5 1000$ .
$\log_5 1000 - \log_5 8 = \log_5\frac{1000}{8} = \log_5 125$ .
$125 = 5^3$ .

Odpowiedź: $3$

Przykład 3

Wynik ujemny

Liczba $\log_2 3 - \log_2 24$ jest równa

$\log_2\frac{3}{24} = \log_2\frac{1}{8}$ .
$\frac{1}{8} = 2^{-3}$ .

Odpowiedź: $-3$

Przykład 4

Wyrażenie ze zmiennymi

Dla dodatnich $x$ i $y$ wyrażenie $2\log_3 x - \log_3 y + 1$ jest równe

$2\log_3 x = \log_3 x^2$ , a $1 = \log_3 3$ .
$\log_3 x^2 - \log_3 y + \log_3 3 = \log_3\frac{3x^2}{y}$ .

Odpowiedź: $\log_3\frac{3x^2}{y}$

Przykład 5

Oceń prawdziwość

Oceń prawdziwość: (1) $2\log_3 5 = \log_3 25$ ; (2) $2 + \log_3 5 = \log_3 10$ .

(1) $2\log_3 5 = \log_3 5^2 = \log_3 25$ – prawda.
(2) $2 = \log_3 9$ , więc $2 + \log_3 5 = \log_3 45 \neq \log_3 10$ – fałsz.
Pułapka: dodano $2 + 5$ zamiast pomnożyć $9\cdot 5$ .

Odpowiedź: P, F

Typowe błędy

$\log_2 96 - \log_2 3 = \log_2 93$ – różnica logarytmów to logarytm ilorazu: $\log_2 32 = 5$ .
Zapomnienie o liczbie przed logarytmem przy łączeniu: $\log_3 108 - 2\log_3 2 \neq \log_3 54$ .
Łączenie logarytmów o różnych podstawach, np. $\log_2 8 + \log_3 9 = \log_6 72$ – źle; licz każdy osobno: $3 + 2 = 5$ .