Dowód: liczba podzielna przez k

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

Polecenie brzmi: „Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej (całkowitej) $n$ liczba … jest podzielna przez $k$ ”. To zadanie otwarte za 2 punkty – pojawia się prawie w każdym arkuszu.

Na czym polega dowód

Liczba jest podzielna przez $k$ , gdy da się ją zapisać jako $k\cdot m$ , gdzie $m$ jest liczbą całkowitą. Cały dowód to przekształcenie wyrażenia do postaci $k\cdot(\ldots)$ i wyjaśnienie, dlaczego to, co w nawiasie, jest całkowite.

Wyłączanie wspólnego czynnika: $7n^2 + 21n = 7n(n + 3)$ .
Rozkład dzielnika: podzielność przez $14$ to podzielność przez $7$ i przez $2$ (bo $14 = 2\cdot 7$ , a $2$ i $7$ nie mają wspólnych dzielników).
Iloczyn kolejnych liczb: z dwóch kolejnych liczb całkowitych jedna jest parzysta, więc $n(n + 1)$ dzieli się przez $2$ . Z trzech kolejnych jedna dzieli się przez $3$ , więc $(n - 1)n(n + 1)$ dzieli się przez $6$ .
Liczby różniące się o liczbę nieparzystą ( $n$ i $n + 3$ , $n$ i $n + 5$ ) mają różną parzystość – jedna z nich jest parzysta, więc ich iloczyn jest parzysty.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wyłącz wspólny czynnik
Liczbę i najniższą potęgę $n$ : $5n^2 + 15n = 5n(n + 3)$ .
2
Porównaj z dzielnikiem
Masz czynnik $5$ , a potrzebujesz $10 = 5\cdot 2$ . Brakuje czynnika $2$ .
3
Uzasadnij brakujący czynnik
Szukaj go w iloczynie: $n$ i $n + 3$ mają różną parzystość, więc $n(n + 3)$ jest parzyste, czyli $n(n + 3) = 2m$ .
4
Zapisz wyrażenie jako k·m
$5n(n + 3) = 5\cdot 2m = 10m$ .
5
Sformułuj wniosek
„Liczba jest podzielna przez $10$ , co należało wykazać.”

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Wyłączenie czynnika i parzystość

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $6n^2 + 18n$ jest podzielna przez $12$ .

Wyłączamy wspólny czynnik: $6n^2 + 18n = 6n(n + 3)$ .
$6$ dzieli oba współczynniki, a $n$ występuje w obu wyrazach.
Potrzebujemy czynnika $12 = 6\cdot 2$ , więc wystarczy pokazać, że $n(n + 3)$ jest parzyste.
Liczby $n$ i $n + 3$ różnią się o $3$ (liczbę nieparzystą), więc jedna z nich jest parzysta. Zatem $n(n + 3) = 2m$ dla pewnej liczby całkowitej $m$ .
$6n(n + 3) = 6\cdot 2m = 12m$ – to wielokrotność $12$ .

Odpowiedź: $6n^2 + 18n = 12m$ , gdzie $m$ jest całkowite, więc liczba jest podzielna przez $12$ .

Przykład 2

Trzy kolejne liczby

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $n^3 - n$ jest podzielna przez $6$ .

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$ .
Wyłączamy n, a potem korzystamy z różnicy kwadratów.
Porządkujemy: $(n - 1)\cdot n\cdot(n + 1)$ – to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych.
Wśród nich jest liczba parzysta i liczba podzielna przez $3$ , więc iloczyn dzieli się przez $2$ i przez $3$ , czyli przez $6$ .

Odpowiedź: $n^3 - n = (n - 1)n(n + 1)$ jest podzielne przez $6$ .

Przykład 3

Najpierw rozwiń, potem wyłączaj

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $(2n + 3)^2 - 9$ jest podzielna przez $8$ .

Rozwijamy kwadrat: $(2n + 3)^2 - 9 = 4n^2 + 12n + 9 - 9 = 4n^2 + 12n$ .
Wyłączamy: $4n^2 + 12n = 4n(n + 3)$ .
$n(n + 3)$ jest parzyste (różnica $3$ jest nieparzysta), więc $n(n + 3) = 2m$ .
$4n(n + 3) = 4\cdot 2m = 8m$ .

Odpowiedź: $(2n + 3)^2 - 9 = 8m$ , więc jest podzielna przez $8$ .

Typowe błędy

Sprawdzenie wzoru dla kilku liczb ( $n = 1, 2, 3$ ) zamiast dowodu dla każdego $n$ – to 0 punktów.
Napisanie „ $n(n + 3)$ jest parzyste” bez uzasadnienia, dlaczego.
Uznanie, że $n(n + 2)$ jest zawsze parzyste – dla nieparzystego $n$ oba czynniki są nieparzyste.
Brak końcowego wniosku – przekształcenie bez zdania „jest podzielna przez …” nie zamyka dowodu.