Dowód: liczby nieparzyste i reszty z dzielenia

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej $n$ liczba $3n^2 + 6n + 15$ jest podzielna przez $12$ .”
„Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba … przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $3$ .”
„Liczba $a$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1$ , a $b$ – resztę $4$ . Wykaż, że …”

Jak zapisywać liczby

Liczba	Zapis	Uwagi
parzysta	$n = 2k$	$k$ – liczba całkowita
nieparzysta	$n = 2k + 1$	$k$ – liczba całkowita
daje resztę $r$ przy dzieleniu przez $d$	$a = d\cdot k + r$	$0 \le r < d$
dwie kolejne nieparzyste	$2k + 1$ , $2k + 3$

Dwie metody dla liczb nieparzystych

Metoda A – podstawienie. Wstawiasz $n = 2k + 1$ , rozwijasz nawiasy, redukujesz i wyłączasz dzielnik przed nawias. Zawsze działa, choć wymaga więcej rachunków.

Metoda B – zwijanie do kwadratu. Gdy wyrażenie zawiera $n^2 + 2n$ , uzupełnij do $(n + 1)^2$ . Dla nieparzystego $n$ liczba $n + 1$ jest parzysta, więc $(n + 1)^2$ dzieli się przez $4$ .

Reszty z dzielenia

Żeby wykazać, że liczba daje resztę $r$ przy dzieleniu przez $d$ , zapisz ją w postaci $d\cdot m + r$ , gdzie $m$ jest całkowite, a $0 \le r < d$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zapisz liczby ogólnie
Nieparzysta: $n = 2k + 1$ . Reszta $r$ z dzielenia przez $d$ : $a = dk + r$ . Dopisz „gdzie $k$ jest liczbą całkowitą”.
2
Podstaw i rozwiń
Rozwiń nawiasy starannie, np. $(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ , i zredukuj wyrazy podobne.
3
Wyłącz dzielnik
Zapisz wynik jako $d\cdot(\ldots)$ albo $d\cdot(\ldots) + r$ . W nawiasie musi zostać wyrażenie całkowite.
4
Sformułuj wniosek
„Ponieważ $k^2 + 2k + 2$ jest liczbą całkowitą, liczba jest podzielna przez $12$ .”

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Nieparzyste n – metoda podstawienia

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej $n$ liczba $3n^2 + 6n + 27$ jest podzielna przez $12$ .

$n$ jest nieparzysta, więc $n = 2k + 1$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.
$3n^2 = 3(2k + 1)^2 = 3(4k^2 + 4k + 1) = 12k^2 + 12k + 3$ .
Najpierw kwadrat ze wzoru $(a + b)^2$ , potem mnożenie przez $3$ .
$6n = 6(2k + 1) = 12k + 6$ .
Suma: $12k^2 + 12k + 3 + 12k + 6 + 27 = 12k^2 + 24k + 36$ .
Wyłączamy $12$ : $12k^2 + 24k + 36 = 12(k^2 + 2k + 3)$ .
$k^2 + 2k + 3$ jest liczbą całkowitą, więc liczba $3n^2 + 6n + 27$ jest podzielna przez $12$ .

Odpowiedź: $3n^2 + 6n + 27 = 12(k^2 + 2k + 3)$ – wielokrotność $12$ .

Przykład 2

To samo zadanie – metoda kwadratu

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej $n$ liczba $3n^2 + 6n + 27$ jest podzielna przez $12$ (drugi sposób).

Wyłączamy $3$ i uzupełniamy do kwadratu: $3n^2 + 6n + 27 = 3(n^2 + 2n + 1) + 24 = 3(n + 1)^2 + 24$ .
$27 = 3 + 24$ , a $n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$ .
$n$ jest nieparzysta, więc $n + 1$ jest parzysta: $n + 1 = 2m$ , gdzie $m$ jest całkowite.
$3(n + 1)^2 + 24 = 3\cdot 4m^2 + 24 = 12m^2 + 24 = 12(m^2 + 2)$ .
$m^2 + 2$ jest całkowite, więc liczba jest podzielna przez $12$ .

Odpowiedź: $3n^2 + 6n + 27 = 12(m^2 + 2)$ , więc jest podzielna przez $12$ .

Przykład 3

Nieparzyste n, dzielnik 4

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej $n$ liczba $5n^2 + 10n + 9$ jest podzielna przez $4$ .

$n = 2k + 1$ , gdzie $k$ jest całkowite.
$5(2k + 1)^2 = 5(4k^2 + 4k + 1) = 20k^2 + 20k + 5$ oraz $10(2k + 1) = 20k + 10$ .
Razem: $20k^2 + 20k + 5 + 20k + 10 + 9 = 20k^2 + 40k + 24 = 4(5k^2 + 10k + 6)$ .

Odpowiedź: $5n^2 + 10n + 9 = 4(5k^2 + 10k + 6)$ , więc jest podzielna przez $4$ .

Przykład 4

Reszta z dzielenia

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $6n^2 + 9n + 5$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ .

Wyłączamy $3$ z tego, co się da: $6n^2 + 9n + 5 = 3(2n^2 + 3n) + 5$ .
$5 = 3 + 2$ , więc $3(2n^2 + 3n) + 3 + 2 = 3(2n^2 + 3n + 1) + 2$ .
Reszta musi być mniejsza od $3$ , dlatego „przenosimy” $3$ do nawiasu.
$2n^2 + 3n + 1$ jest całkowite, a $0 \le 2 < 3$ , więc reszta jest równa $2$ .

Odpowiedź: $6n^2 + 9n + 5 = 3(2n^2 + 3n + 1) + 2$ – reszta $2$ .

Przykład 5

Liczby o danych resztach

Liczba całkowita $a$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $1$ , a liczba całkowita $b$ – resztę $2$ . Wykaż, że iloczyn $a\cdot b$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ .

$a = 3k + 1$ , $b = 3m + 2$ , gdzie $k$ , $m$ są całkowite.
Dwie różne liczby – dwie różne litery k i m!
$ab = (3k + 1)(3m + 2) = 9km + 6k + 3m + 2$ .
$= 3(3km + 2k + m) + 2$ , a $3km + 2k + m$ jest całkowite.

Odpowiedź: $ab = 3(3km + 2k + m) + 2$ – reszta $2$ .

Typowe błędy

Ta sama litera dla dwóch różnych liczb: $a = 3k + 1$ , $b = 3k + 2$ – wtedy dowodzisz tylko dla $b = a + 1$ .
Błąd w kwadracie: $(2k + 1)^2 = 4k^2 + 1$ – brakuje $4k$ .
Reszta ujemna albo większa od dzielnika: $5m + 7$ to reszta $2$ , nie $7$ ( $5m + 7 = 5(m + 1) + 2$ ).
Zapis $n = 2n + 1$ – ta sama litera po obu stronach. Wprowadź nową: $n = 2k + 1$ .