Wybory, pary i ustawienia

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Kody czterocyfrowe z cyfr $1, 3, 6, 8$ , każda dokładnie raz”, „Każdy obszar kolorujemy jednym z siedmiu kolorów tak, aby graniczące miały różne kolory”.

Sytuacja	Liczba sposobów
ustawienie $n$ różnych elementów w kolejności	$n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n$
wybór uporządkowanej pary z $n$ (np. kapitan i zastępca)	$n(n - 1)$
wybór pary bez kolejności (uściski dłoni)	$\frac{n(n - 1)}{2}$
kolorowanie z warunkiem „sąsiednie różne”	pierwszy obszar: wszystkie kolory, każdy sąsiedni: o jeden mniej

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Czy kolejność ma znaczenie?
Kod, kolejka – tak; para do tańca, delegacja – nie (dzielisz przez liczbę uporządkowań).
2
Licz etapami
Reguła mnożenia.
3
Dziel przez powtórzenia
Przy parach bez kolejności – przez $2$ .

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Kolejka

Na ile sposobów można ustawić $6$ osób w kolejce?

$6! = 720$ .

Odpowiedź: $720$

Przykład 2

Delegacja dwuosobowa

Z klasy liczącej $10$ osób wybieramy dwuosobową delegację. Ile jest możliwości?

Uporządkowanych par: $10\cdot 9 = 90$ ; delegacja jest bez kolejności: $\frac{90}{2} = 45$ .

Odpowiedź: $45$

Przykład 3

Flaga

Flaga ma trzy poziome pasy. Każdy malujemy jednym z $5$ kolorów tak, by sąsiednie pasy miały różne kolory. Ile jest flag?

Górny: $5$ , środkowy: $4$ (inny niż górny), dolny: $4$ (inny niż środkowy).

Odpowiedź: $80$

Typowe błędy

Liczenie par bez kolejności jako uporządkowanych (wynik dwa razy za duży).
W kolorowaniu: odejmowanie kolorów obszarów, które nie graniczą.