Liczby o cyfrach spełniających warunki

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których występują tylko cyfry $0$ , $5$ , $7$ , jest”, „…trzycyfrowych parzystych, w których dokładnie raz występuje cyfra $0$ , jest”. Zadanie zamknięte – w każdym arkuszu.

Reguła mnożenia

Liczbę budujesz cyfra po cyfrze. Dla każdej pozycji liczysz, ile jest możliwości, i mnożysz. Jeśli zadanie rozpada się na rozłączne przypadki – liczby z przypadków dodajesz.

Pierwsza cyfra nie może być zerem.
Parzysta / nieparzysta – decyduje ostatnia cyfra. Podzielna przez 5 – ostatnia $0$ lub $5$ . Przez 25 – końcówka $00$ , $25$ , $50$ , $75$ .
Zaczynaj od pozycji z ograniczeniami (pierwsza i ostatnia cyfra).
„Dokładnie jeden raz cyfra $0$ ” – rozbij na przypadki: na której pozycji stoi zero; pozostałe pozycje – cyfry niezerowe.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Narysuj kratki na cyfry
_ _ _ – tyle, ile cyfr ma liczba.
2
Wypełnij kratki z warunkami
Pierwsza (≠ 0), ostatnia (parzystość, podzielność).
3
Wypełnij pozostałe
Ile cyfr jest dozwolonych na danej pozycji.
4
Pomnóż (dodaj przypadki)
Sprawdź, czy przypadki się nie powtarzają.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Cyfry z ograniczonego zbioru

Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie występują tylko cyfry $1, 2, 3, 4, 5$ (mogą się powtarzać)?

Pierwsza: $5$ , druga: $5$ , trzecia: $5$ , ostatnia parzysta ( $2$ lub $4$ ): $2$ .
$5\cdot 5\cdot 5\cdot 2 = 250$ .

Odpowiedź: $250$

Przykład 2

Z zerem w zbiorze cyfr

Ile jest liczb czterocyfrowych, w których występują tylko cyfry $0$ , $3$ , $8$ ?

Pierwsza: $3$ lub $8$ – $2$ możliwości. Pozostałe trzy: po $3$ .
$2\cdot 3^3 = 54$ .

Odpowiedź: $54$

Przykład 3

Dokładnie jedno zero

Ile jest liczb czterocyfrowych, w których zapisie cyfra $0$ występuje dokładnie jeden raz?

Zero może stać na pozycji $2$ , $3$ albo $4$ – $3$ przypadki.
Pozostałe trzy pozycje: cyfry $1$ – $9$ : $9^3 = 729$ .
$3\cdot 729 = 2187$ .

Odpowiedź: $2187$

Przykład 4

Podzielne przez 25

Ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez $25$ ?

Końcówki: $00$ , $25$ , $50$ , $75$ – $4$ ; pierwsza cyfra $1$ – $9$ – $9$ .

Odpowiedź: $36$

Przykład 5

Wypisywanie

Ile jest liczb dwucyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o $5$ większa od cyfry jedności?

Jedności $0$ – $4$ : $50, 61, 72, 83, 94$ .

Odpowiedź: $5$

Typowe błędy

Zero na pierwszej pozycji.
Mnożenie zamiast dodawania rozłącznych przypadków (lub odwrotnie).
Liczenie dwa razy tej samej liczby w dwóch przypadkach.