Wyrażenia algebraiczne

Wzory skróconego mnożenia

• ★ Kwadrat sumy i różnicy:$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• ★ Różnica kwadratów:$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
• ★ Sześcian sumy i różnicy:$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \qquad (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
• ★ Suma i różnica sześcianów:$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \qquad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Schemat

1. Rozpoznaj wzór
2. Ustal, co jest a, a co b
3. Podstaw do wzoru
4. Uprość

Uważaj

• ✗$(a + b)^2 = a^2 + b^2$ – brak podwojonego iloczynu $2ab$.
• ✗$(a - b)^2 = a^2 - b^2$ – mylenie kwadratu różnicy z różnicą kwadratów.

Upraszczanie wyrażeń wzorami skróconego mnożenia

Schemat

1. Rozpoznaj strukturę
2. Wybierz drogę
3. Licz w nawiasach
4. Sprawdź liczbą

Uważaj

• ✗$(a - b)^2 = a^2 - b^2$ – pominięcie podwojonego iloczynu.
• ✗Zmiana znaku tylko przy pierwszym wyrazie po minusie przed nawiasem.

Wzory skróconego mnożenia z pierwiastkami

Schemat

1. Rozpoznaj wzór
2. Licz każdy kawałek
3. Upraszczaj pierwiastki

Uważaj

• ✗$(\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 1 = 4$ – zgubiony podwojony iloczyn $2\sqrt{3}$.
• ✗Podstawianie liczby z pierwiastkiem do rozwiniętego wyrażenia zamiast do zwiniętego – dużo rachunków i łatwo o błąd.

Dowody z wzorami skróconego mnożenia

Schemat

1. Przenieś wszystko na jedną stronę
2. Pogrupuj wyrazy
3. Zwiń do kwadratów
4. Uzasadnij i zakończ

Uważaj

• ✗Sprawdzanie nierówności dla kilku liczb zamiast dowodu ogólnego.
• ✗Mnożenie przez $a$ bez założenia, że $a > 0$ – dla ujemnego $a$ znak nierówności się odwraca.

Wielomiany

Schemat

1. Wyłącz wspólny czynnik
2. Sprawdź wzory skróconego mnożenia
3. Przy 4 wyrazach – grupuj
4. Rozkładaj do końca

Uważaj

• ✗Zgubienie czynnika przy wyłączaniu: $3x^3 - 12x = x(x^2 - 4)$ – brakuje $3$.
• ✗Zły znak przy grupowaniu: $-9x - 18 = -9(x - 2)$ – źle, powinno być $-9(x + 2)$.

Działania na wielomianach

Schemat

1. Wymnóż nawiasy
2. Zredukuj wyrazy podobne
3. Uporządkuj malejąco

Uważaj

• ✗Odjęcie tylko pierwszego wyrazu iloczynu (brak nawiasu po minusie).
• ✗Pominięcie któregoś iloczynu przy mnożeniu „każdy przez każdy”.

Rozkład wielomianu na czynniki

Schemat

1. Wyłącz wspólny czynnik
2. Przy 4 wyrazach – grupuj parami
3. Rozkładaj dalej
4. Sprawdź

Uważaj

• ✗Zły znak przy wyłączaniu z drugiej pary: $-4x - 12 = -4(x - 3)$ – źle, ma być $-4(x + 3)$.
• ✗Zgubienie czynnika liczbowego (np. $2$) przy wyłączaniu.

Wielomian z parametrem i pierwiastek wielomianu

Schemat

1. Ustal pierwiastek
2. Podstaw do wielomianu
3. Przyrównaj do zera
4. Jeśli trzeba – rozłóż wielomian

Uważaj

• ✗Podstawienie $x = 2$ zamiast $x = -2$ przy czynniku $(x + 2)$.
• ✗Błędy rachunkowe przy potęgach liczb ujemnych: $(-2)^3 = -8$, $(-2)^2 = 4$.

Wyrażenia wymierne

Schemat

1. Wyznacz dziedzinę
2. Rozłóż na czynniki
3. Wykonaj działanie
4. Uprość i podaj wynik z dziedziną

Uważaj

• ✗Skracanie składników zamiast czynników.
• ✗Pominięcie dziedziny – albo wyznaczanie jej dopiero po skróceniu (wtedy gubisz wykluczone liczby).

Dziedzina wyrażenia wymiernego

Schemat

1. Wypisz mianowniki
2. Rozłóż na czynniki
3. Przyrównaj czynniki do zera
4. Zapisz dziedzinę

Uważaj

• ✗Wykluczenie tylko jednego pierwiastka z $x^2 - 9$ (zapomnienie o $-3$).
• ✗Wyznaczanie dziedziny dopiero po skróceniu.

Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

Schemat

1. Rozłóż liczniki i mianowniki
2. Przy dzieleniu odwróć drugi ułamek
3. Skróć wspólne czynniki
4. Zapisz wynik

Uważaj

• ✗Skracanie składników: $\frac{x + 3}{x} = 3$ – źle.
• ✗Zgubienie minusa przy czynnikach przeciwnych ($1 - x$ i $x - 1$).

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Schemat

1. Ustal wspólny mianownik
2. Rozszerz ułamki
3. Dodaj liczniki w nawiasach
4. Zredukuj

Uważaj

• ✗Brak nawiasu przy odejmowaniu: $\frac{3(x + 1) - 2x + 2}{\ldots}$ zamiast $3(x + 1) - (2x + 2)$.
• ✗Rozszerzenie tylko mianownika bez licznika.