Trygonometria

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

• ★ Funkcje trygonometryczne kąta ostrego:$\sin\alpha = \frac{a}{c} \qquad \cos\alpha = \frac{b}{c} \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}$

Schemat

1. Zaznacz kąt i nazwij boki
2. Wybierz funkcję
3. Ułóż i rozwiąż równanie
4. Sprawdź Pitagorasem

Uważaj

• ✗Nazywanie boków bez patrzenia na kąt – „naprzeciw” zależy od tego, który kąt rozważasz.
• ✗Mylenie wartości $\sin 30°$ i $\cos 30°$.

Funkcje trygonometryczne z boków trójkąta

• ★ Funkcje kąta ostrego:$\sin\alpha = \frac{a}{c},\quad \cos\alpha = \frac{b}{c},\quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}$

Schemat

1. Znajdź trójkąt prostokątny z kątem
2. Nazwij boki względem kąta
3. Dolicz brakujący bok
4. Podziel odpowiednie boki

Uważaj

• ✗Liczenie funkcji z boków „nie tego” kąta.
• ✗Dzielenie przez przyprostokątną zamiast przez przeciwprostokątną w sinusie.

Dana jedna funkcja – oblicz pozostałe

• ★ Jedynka trygonometryczna i tangens:$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Schemat

1. Narysuj trójkąt albo zapisz jedynkę
2. Oblicz trzeci bok
3. Zapisz szukaną funkcję

Uważaj

• ✗$\cos\alpha = 1 - \sin\alpha$ – jedynka dotyczy kwadratów.
• ✗Uznanie, że $\sin\alpha + \cos\alpha = 1$.

Obliczanie boków z funkcji trygonometrycznych

Schemat

1. Nazwij boki względem kąta
2. Ułóż równanie
3. Rozwiąż

Uważaj

• ✗Mnożenie zamiast dzielenia (lub odwrotnie): z $\sin\alpha = \frac{a}{c}$ jest $a = c\sin\alpha$, ale $c = \frac{a}{\sin\alpha}$.

Wartości dla kątów 30°, 45° i 60°

Schemat

1. Podstaw wartości z tabeli
2. W geometrii użyj trójkąta szczególnego

Uważaj

• ✗Zamiana $\sin 30°$ z $\sin 60°$.
• ✗$\cos^2 45° = \frac{\sqrt{2}}{4}$ – źle, $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$.

Kąt nachylenia prostej do osi Ox

• Kąt nachylenia prostej y = ax + b:$\operatorname{tg}\alpha = a$

Schemat

1. Odczytaj a
2. tg α = a

Uważaj

• ✗Utożsamienie $\operatorname{tg}\alpha$ z wyrazem wolnym $b$.

Tożsamości i kąty dowolne

• ★ Podstawowe tożsamości:$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
• ★ Wzory dla 180° − α:$\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha \qquad \cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha \qquad \operatorname{tg}(180° - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$

Schemat

1. Ustal, czy kąt jest ostry czy rozwarty
2. Użyj jedynki
3. Oblicz tangens
4. Dla kątów rozwartych – sprowadź do ostrego

Uważaj

• ✗Pominięcie znaku: dla kąta rozwartego $\cos\alpha$ jest ujemny.
• ✗$\sin^2\alpha$ czytane jako $\sin(\alpha^2)$ – to $(\sin\alpha)^2$.

Funkcje trygonometryczne kąta rozwartego

• ★ Wzory redukcyjne:$\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha,\quad \cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha,\quad \operatorname{tg}(180° - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$

Schemat

1. Zapisz jedynkę
2. Wybierz znak
3. Tangens

Uważaj

• ✗Dodatni cosinus kąta rozwartego.
• ✗$\sin(180° - \alpha) = -\sin\alpha$ – źle, sinus się nie zmienia.

Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych

Schemat

1. Szukaj wspólnego czynnika
2. Zastąp sin² + cos² jedynką
3. Uprość do jednej funkcji

Uważaj

• ✗$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ stosowane do pierwszych potęg ($\sin\alpha + \cos\alpha \neq 1$).
• ✗Skracanie $\sin$ „w środku” nawiasu, który nie jest czynnikiem.

Kąt spełniający warunek – oblicz funkcję

Schemat

1. Uprość (jedynka, ułamki)
2. Doprowadź do jednej funkcji
3. Rozwiąż

Uważaj

• ✗Rozbicie ułamka: $\frac{3\sin\alpha + 4\cos\alpha}{4\cos\alpha} = \frac{3}{4}\operatorname{tg}\alpha + 1$, a nie $3\operatorname{tg}\alpha + 1$.

Twierdzenie cosinusów i pole z sinusem

• ★ Twierdzenie cosinusów i pole:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma, \qquad P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

Schemat

1. Ustal, który kąt leży między którymi bokami
2. Podstaw do wzoru
3. Pole: cos → sin → wzór

Uważaj

• ✗Podstawienie cosinusa zamiast sinusa do wzoru na pole.
• ✗Zgubienie $2ab$ w twierdzeniu cosinusów.

Kąt w układzie współrzędnych

• Funkcje kąta w układzie:$r = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \sin\alpha = \frac{y}{r},\quad \cos\alpha = \frac{x}{r},\quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}$

Schemat

1. Odczytaj x i y punktu
2. Oblicz r
3. Podstaw do wzorów

Uważaj

• ✗$\operatorname{tg}\alpha = \frac{x}{y}$ – odwrócony iloraz.
• ✗Punkt w złej ćwiartce przy danym tangensie.