Stereometria

Graniastosłupy

• ★ Objętość i pole:$V = P_p\cdot H \qquad P_c = 2P_p + P_b$
• ★ Przekątna prostopadłościanu i sześcianu:$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \qquad d_{\text{sześcianu}} = a\sqrt{3}$

Schemat

1. Narysuj bryłę
2. Znajdź trójkąt prostokątny
3. Oblicz brakujące długości
4. Oblicz objętość lub pole

Uważaj

• ✗Kąt nachylenia przekątnej liczony do krawędzi podstawy zamiast do przekątnej podstawy.
• ✗Pole całkowite bez drugiej podstawy: $P_c = 2P_p + P_b$, a nie $P_p + P_b$.

Przekątna i kąt nachylenia w graniastosłupie

Schemat

1. Narysuj trójkąt D–d–H
2. Oblicz przekątną podstawy d
3. Użyj funkcji trygonometrycznej

Uważaj

• ✗Kąt między przekątną bryły a krawędzią podstawy zamiast przekątną podstawy.
• ✗Przekątna kwadratu $a\sqrt{3}$ (to przekątna sześcianu).

Objętość i pole graniastosłupa

• ★ Graniastosłup:$V = P_p\cdot H, \qquad P_c = 2P_p + P_b$

Schemat

1. Oblicz pole podstawy
2. Wyznacz wysokość H
3. Policz V i/lub P_c

Uważaj

• ✗$P_c = P_p + P_b$ – w graniastosłupie są dwie podstawy.
• ✗Pole sześciokąta jak trójkąta (brak mnożenia przez $6$).

Sześcian i prostopadłościan – zależności krawędzi

Schemat

1. Wyraź wszystko przez krawędź
2. Ułóż równanie z danej
3. Oblicz szukane

Uważaj

• ✗Skalowanie objętości przez $k$ zamiast $k^3$.
• ✗Mylenie przekątnej ściany z przekątną sześcianu.

Ostrosłupy

• ★ Objętość i pole:$V = \frac{1}{3}P_p\cdot H \qquad P_c = P_p + P_b$

Schemat

1. Narysuj ostrosłup i jego wysokość
2. Wybierz właściwy trójkąt prostokątny
3. Licz w trójkącie
4. Oblicz objętość / pole

Uważaj

• ✗Brak $\frac{1}{3}$ we wzorze na objętość.
• ✗Mylenie wysokości ostrosłupa $H$ z wysokością ściany bocznej $h$.

Kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa

Schemat

1. Narysuj trójkąt H–R–b
2. Oblicz R
3. Licz: Pitagoras lub trygonometria

Uważaj

• ✗Użycie połowy boku zamiast połowy przekątnej (to dla ściany bocznej).
• ✗$R = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ w trójkącie – to promień okręgu wpisanego.

Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa

Schemat

1. Narysuj trójkąt H–r–h
2. Oblicz brakujące odcinki
3. V i pole

Uważaj

• ✗Pomylenie kąta ściany z kątem krawędzi (inny trójkąt: r zamiast R).
• ✗Wysokość ściany $h$ wzięta jako wysokość ostrosłupa $H$.

Objętość i pole ostrosłupa

• ★ Ostrosłup:$V = \frac{1}{3}P_p\cdot H, \qquad P_c = P_p + P_b$

Schemat

1. Zapisz zależności
2. Rozwiąż równanie
3. Przy podobieństwie – ustal skalę

Uważaj

• ✗Brak $\frac{1}{3}$ w objętości ostrosłupa.
• ✗Stosunek objętości podobnych brył równy skali.

Liczba ścian, krawędzi i wierzchołków

Schemat

1. Oznacz n – liczba boków podstawy
2. Zapisz warunek przez n
3. Rozwiąż i odpowiedz

Uważaj

• ✗Mylenie wzorów dla ostrosłupa i graniastosłupa.
• ✗Liczenie tylko ścian bocznych zamiast wszystkich.

Bryły obrotowe

• Tworząca stożka:$l^2 = r^2 + H^2$

Schemat

1. Narysuj przekrój osiowy
2. Wyznacz r, H (i l)
3. Podstaw do wzorów

Uważaj

• ✗Podstawianie średnicy zamiast promienia.
• ✗Mylenie wysokości stożka $H$ z tworzącą $l$.

Stożek – kąt rozwarcia, objętość, pole

• ★ Stożek:$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H, \qquad P_b = \pi r l, \qquad l^2 = r^2 + H^2$

Schemat

1. Narysuj połowę przekroju
2. Zaznacz połowę kąta rozwarcia
3. Licz brakujące i podstaw do wzorów

Uważaj

• ✗Kąt rozwarcia utożsamiony z połową kąta.
• ✗$P_b = \pi r H$ zamiast $\pi r l$.

Walec – przekrój osiowy, objętość, pole

• ★ Walec:$V = \pi r^2 H, \qquad P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H$

Schemat

1. Narysuj przekrój osiowy
2. Wyznacz r i H
3. Podstaw do wzorów

Uważaj

• ✗Średnica wzięta jako promień.
• ✗Pole całkowite bez jednej podstawy.

Kula i porównywanie brył

• ★ Kula:$V = \frac{4}{3}\pi r^3, \qquad P = 4\pi r^2$

Schemat

1. Oznacz wymiary jednej bryły literami
2. Zapisz obie objętości (pola)
3. Podziel – litery się skrócą

Uważaj

• ✗Pole kuli $\frac{4}{3}\pi r^2$ – mieszanie wzorów.