Planimetria

Kąty i trójkąty

• Twierdzenie Pitagorasa:$a^2 + b^2 = c^2$
• ★ Trójkąt równoboczny o boku a:$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \qquad P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
• ★ Twierdzenie sinusów:$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$
• ★ Twierdzenie cosinusów:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Schemat

1. Zrób rysunek
2. Szukaj trójkątów prostokątnych
3. Wykorzystaj sumę kątów
4. W dowolnym trójkącie – sinusy lub cosinusy

Uważaj

• ✗Stosowanie Pitagorasa w trójkącie, który nie jest prostokątny.
• ✗W Pitagorasie dodawanie kwadratu przeciwprostokątnej: $6^2 + 10^2$ zamiast $10^2 - 6^2$.

Kąty w trójkącie i przy prostych równoległych

Schemat

1. Zaznacz na rysunku znane kąty
2. Szukaj par: wierzchołkowe, przyległe, odpowiadające
3. Ułóż równanie (układ) i rozwiąż

Uważaj

• ✗Mylenie kątów wierzchołkowych (równe) z przyległymi (suma 180°).
• ✗Uznanie kątów przy prostych za równe, gdy proste nie są równoległe.

Trójkąty prostokątne i trójkąty szczególne

Schemat

1. Rozpoznaj trójkąt szczególny
2. Użyj proporcji boków
3. W pozostałych przypadkach – Pitagoras

Uważaj

• ✗$c^2 = a^2 - b^2$ – odjęcie zamiast dodania (albo przeciwprostokątna jako przyprostokątna).
• ✗Wysokość trójkąta równobocznego $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ zamiast $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Twierdzenie o dwusiecznej kąta

• ★ Twierdzenie o dwusiecznej:$\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AC|}{|BC|}$

Schemat

1. Ustal, z którego wierzchołka wychodzi dwusieczna
2. Zapisz proporcję
3. Rozwiąż

Uważaj

• ✗Odwrócenie proporcji (odcinek przy krótszym boku jest krótszy).
• ✗Zastosowanie twierdzenia do środkowej lub wysokości.

Trójkąt dowolny – twierdzenie sinusów i cosinusów

• ★ Twierdzenie sinusów:$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$

Schemat

1. Wypisz dane i szukane
2. Wybierz twierdzenie
3. Licz z wartościami szczególnymi

Uważaj

• ✗Podstawianie boku nie naprzeciw tego kąta w twierdzeniu sinusów.
• ✗cos zamiast sin we wzorze na pole.

Dowody geometryczne

Schemat

1. Rysunek i oznaczenia
2. Wyraź wszystko przez jedną-dwie zmienne
3. Szukaj trójkątów równoramiennych i równoległych
4. Doprowadź do tezy

Uważaj

• ✗Dowód „z rysunku” – mierzenie kątów linijką/kątomierzem.
• ✗Brak uzasadnień kroków (dlaczego kąty są równe).

Podobieństwo i twierdzenie Talesa

• Skala a obwody i pola:$\frac{\text{Obw}_2}{\text{Obw}_1} = k \qquad \frac{P_2}{P_1} = k^2$
• ★ Twierdzenie Talesa:$\frac{|OA|}{|AB|} = \frac{|OC|}{|CD|} \qquad \frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OC|}{|OD|}$

Schemat

1. Znajdź trójkąty podobne
2. Dopasuj odpowiadające boki
3. Ułóż proporcję
4. Rozwiąż proporcję

Uważaj

• ✗Stosunek pól równy $k$ zamiast $k^2$.
• ✗Proporcja z nieodpowiadającymi sobie bokami.

Trójkąty podobne – proporcje boków

Schemat

1. Znajdź dwa równe kąty
2. Dopasuj wierzchołki
3. Ułóż proporcję

Uważaj

• ✗Proporcja z boków, które sobie nie odpowiadają.
• ✗Użycie $|DA|$ zamiast $|CA|$ (części zamiast całości).

Skala podobieństwa, pola i obwody

• ★ Figury podobne w skali k:$\frac{\text{Obw}_2}{\text{Obw}_1} = k, \qquad \frac{P_2}{P_1} = k^2$

Schemat

1. Ustal k
2. Przelicz szukaną wielkość

Uważaj

• ✗Obwody w stosunku $k^2$ albo pola w stosunku $k$.
• ✗Odwrócona skala (z większej do mniejszej figury).

Twierdzenie Talesa

• Twierdzenie Talesa:$\frac{|AB|}{|AD|} = \frac{|AC|}{|AE|} = \frac{|BC|}{|DE|}$

Schemat

1. Zaznacz wierzchołek kąta
2. Zapisz proporcję całych odcinków
3. Rozwiąż

Uważaj

• ✗Proporcja $\frac{BC}{DE} = \frac{AB}{BD}$ – kawałek zamiast całości.

Podobieństwo w trapezie i w okręgu

Schemat

1. Wyznacz skalę k
2. Podziel wysokość lub przekątną w stosunku k
3. Pola: k²

Uważaj

• ✗Stosunek pól $k$ zamiast $k^2$.
• ✗Uznanie trójkątów przy ramionach za podobne (one mają tylko równe pola).

Czworokąty

• ★ Pola:$P_{\text{równoległoboku}} = a\cdot h = ab\sin\alpha \qquad P_{\text{rombu}} = \frac{d_1 d_2}{2} \qquad P_{\text{trapezu}} = \frac{a + b}{2}\cdot h$

Schemat

1. Rozpoznaj czworokąt
2. Dorysuj wysokość lub przekątną
3. Licz w trójkącie
4. Oblicz pole lub obwód

Uważaj

• ✗Pole rombu jako $d_1\cdot d_2$ – brakuje dzielenia przez $2$.
• ✗Traktowanie ramienia trapezu jak wysokości.

Równoległobok i romb

Schemat

1. Narysuj przekątne
2. Licz w trójkącie
3. Przekątna równoległoboku

Uważaj

• ✗Uznanie, że przekątne równoległoboku są prostopadłe (tylko w rombie).
• ✗Użycie całych przekątnych zamiast połówek w Pitagorasie.

Trapez

Schemat

1. Dorysuj wysokość (lub dwie)
2. Oznacz odcinki na dłuższej podstawie
3. Licz w trójkącie prostokątnym

Uważaj

• ✗Przyjęcie odcinka przy ramieniu jako $a - b$ zamiast $\frac{a - b}{2}$.
• ✗Liczenie pola bez wysokości (z ramienia).

Kąty w czworokątach i wielokątach

• Suma kątów n-kąta:$(n - 2)\cdot 180°, \qquad \text{kąt foremnego } n\text{-kąta: } \frac{(n - 2)\cdot 180°}{n}$

Schemat

1. Wybierz wzór
2. Ułóż równanie

Uważaj

• ✗Suma kątów $n$-kąta jako $n\cdot 180°$.

Okręgi i koła

• ★ Promień okręgu wpisanego w dowolny trójkąt:$r = \frac{2P}{a + b + c}$

Schemat

1. Zaznacz środek i promienie
2. Znajdź łuk, na którym opierają się kąty
3. Szukaj kątów prostych
4. Licz

Uważaj

• ✗Kąt wpisany równy środkowemu – to połowa!
• ✗Branie kąta wpisanego opartego na innym łuku niż środkowy.

Kąt wpisany i kąt środkowy

Schemat

1. Zaznacz łuk, na którym opiera się szukany kąt
2. Znajdź kąt środkowy na tym łuku
3. Podziel przez 2 (lub pomnóż)

Uważaj

• ✗Kąt wpisany równy środkowemu (zapomnienie o połowie).
• ✗Wybranie złego łuku (krótszego zamiast dłuższego).

Styczna do okręgu

Schemat

1. Dorysuj promienie do punktów styczności
2. Wykorzystaj czworokąt OASB lub trójkąt równoramienny
3. Licz kąty lub odległości (Pitagoras)

Uważaj

• ✗Brak kąta prostego między promieniem a styczną w obliczeniach.
• ✗$|\angle AOB| = |\angle ASB|$ – te kąty dopełniają się do $180°$.

Długość łuku i pole wycinka

• ★ Łuk i wycinek:$l = \frac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi r, \qquad P = \frac{\alpha}{360°}\cdot\pi r^2$

Schemat

1. Ustal kąt środkowy
2. Podstaw do wzoru
3. Obwód wycinka – dodaj 2r

Uważaj

• ✗Użycie kąta wpisanego zamiast środkowego.
• ✗Obwód wycinka bez dwóch promieni.

Okrąg wpisany i opisany

Schemat

1. Rozpoznaj rodzaj trójkąta
2. Wybierz wzór
3. Licz

Uważaj

• ✗Zamiana wzorów R i r w trójkącie równobocznym.
• ✗Środek okręgu wpisanego w punkcie przecięcia wysokości lub środkowych (to prawda tylko w równobocznym).

Pola figur

• ★ Pole trójkąta:$P = \frac{1}{2}a\cdot h_a \qquad P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$
• ★ Trójkąt równoboczny:$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
• ★ Koło, wycinek i łuk:$P = \pi r^2 \qquad P_{\text{wycinka}} = \frac{\alpha}{360°}\cdot\pi r^2 \qquad l = \frac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi r$

Schemat

1. Rozpoznaj figurę
2. Wybierz wzór do danych
3. Dolicz brakujące długości
4. Oblicz i podaj jednostki

Uważaj

• ✗Wzór $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ z kątem, który nie leży między bokami $a$ i $b$.
• ✗Mylenie pola koła $\pi r^2$ z obwodem $2\pi r$.

Pole trójkąta

Schemat

1. Wypisz, co znasz
2. Wybierz wzór
3. Dolicz brakujące wielkości

Uważaj

• ✗Wysokość nieprostopadła do wybranego boku.
• ✗Kąt nie leżący między danymi bokami we wzorze z sinusem.

Pole równoległoboku, rombu i trapezu

Schemat

1. Wybierz wzór do danych
2. Gdy szukasz boku – podstaw pole i rozwiąż

Uważaj

• ✗Pole rombu $d_1\cdot d_2$ bez dzielenia przez $2$.
• ✗Pole trapezu z ramieniem zamiast wysokości.

Pola figur złożonych i figur z kołem

Schemat

1. Narysuj i podziel figurę
2. Policz pola części
3. Dodaj lub odejmij

Uważaj

• ✗Pomylenie promienia koła opisanego na kwadracie (połowa przekątnej) z połową boku.