Liczby rzeczywiste

Działania na liczbach

• Związek NWD i NWW:$\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b) = a\cdot b$
• ★ Błąd bezwzględny:$\Delta = |x - a|$
• ★ Błąd względny:$\delta = \frac{|x - a|}{|x|}\cdot 100\%$

Schemat

1. Ustal kolejność działań
2. Wybierz wygodną postać liczb
3. Licz po jednym działaniu
4. Uprość wynik
5. Sprawdź sensowność

Uważaj

• ✗Dodawanie przed mnożeniem: $2 + 3\cdot 4 = 14$, a nie $20$.
• ✗Mylenie $-2^2 = -4$ z $(-2)^2 = 4$ – potęga dotyczy tylko tego, co stoi bezpośrednio pod nią.

Dowód: liczba podzielna przez k

Schemat

1. Wyłącz wspólny czynnik
2. Porównaj z dzielnikiem
3. Uzasadnij brakujący czynnik
4. Zapisz wyrażenie jako k·m
5. Sformułuj wniosek

Uważaj

• ✗Sprawdzenie wzoru dla kilku liczb ($n = 1, 2, 3$) zamiast dowodu dla każdego $n$ – to 0 punktów.
• ✗Napisanie „$n(n + 3)$ jest parzyste” bez uzasadnienia, dlaczego.

Dowód: liczby nieparzyste i reszty z dzielenia

Schemat

1. Zapisz liczby ogólnie
2. Podstaw i rozwiń
3. Wyłącz dzielnik
4. Sformułuj wniosek

Uważaj

• ✗Ta sama litera dla dwóch różnych liczb: $a = 3k + 1$, $b = 3k + 2$ – wtedy dowodzisz tylko dla $b = a + 1$.
• ✗Błąd w kwadracie: $(2k + 1)^2 = 4k^2 + 1$ – brakuje $4k$.

Potęgi i pierwiastki

• ★ Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie:$a^m\cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• ★ Potęga potęgi, iloczynu i ilorazu:$(a^m)^n = a^{m\cdot n} \qquad (ab)^n = a^n b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
• Pierwiastek iloczynu i ilorazu:$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
• Usuwanie niewymierności:$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \qquad \frac{1}{\sqrt{a}+b} = \frac{\sqrt{a}-b}{a-b^2}$

Schemat

1. Znajdź wspólną podstawę
2. Zamień pierwiastki na potęgi
3. Zastosuj prawa działań
4. Uprość i zapisz wynik

Uważaj

• ✗$2^3\cdot 2^4 = 2^{12}$ – źle! Przy mnożeniu wykładniki się dodaje: $2^7$.
• ✗$\sqrt{9+16} = 3 + 4$ – źle! Pierwiastek z sumy to nie suma pierwiastków: $\sqrt{25} = 5$.

Wyrażenia z potęgami – wspólna podstawa

Schemat

1. Wybierz podstawę
2. Przepisz każdą liczbę jako potęgę tej podstawy
3. Działaj na wykładnikach
4. Porównaj z odpowiedziami

Uważaj

• ✗$(2^3)^4 = 2^7$ – źle, potęga potęgi to iloczyn wykładników: $2^{12}$.
• ✗$2^3\cdot 3^3 = 6^9$ – źle: $2^3\cdot 3^3 = 6^3$ (te same wykładniki, mnożysz podstawy).

Działania na pierwiastkach

Schemat

1. Rozłóż liczby pod pierwiastkami
2. Wyłącz czynniki
3. Zredukuj podobne
4. Uprość ułamek

Uważaj

• ✗$\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ – nieprawda: $\sqrt{9 + 16} = 5$, a $3 + 4 = 7$.
• ✗Zgubienie liczby przed pierwiastkiem przy wyłączaniu: $3\sqrt{45} = 3\cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$, nie $3\sqrt{5}$.

Suma potęg – wyłączanie przed nawias i podzielność

Schemat

1. Sprowadź do wspólnej podstawy
2. Wyłącz najmniejszą potęgę
3. Oblicz nawias
4. Zapisz wniosek

Uważaj

• ✗$5^{12} + 5^{13} = 5^{25}$ – dodawanie wykładników działa tylko przy mnożeniu potęg.
• ✗Wyłączenie złej potęgi: $2^{150} - 2^{145} = 2^{150}(1 - 2^{-5})$ – poprawne, ale nic nie daje. Wyłączaj najmniejszą.

Logarytmy

• ★ Definicja logarytmu:$\log_a b = c \iff a^c = b$
• ★ Logarytm iloczynu i ilorazu:$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \qquad \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
• ★ Logarytm potęgi:$\log_a x^k = k\cdot\log_a x$
• ★ Zamiana podstawy:$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Schemat

1. Sprawdź podstawy
2. Połącz logarytmy
3. Zapisz liczbę jako potęgę podstawy
4. Odczytaj wynik z definicji

Uważaj

• ✗$\log (a + b) = \log a + \log b$ – źle! Suma logarytmów to logarytm iloczynu, nie sumy.
• ✗$\frac{\log_a x}{\log_a y} = \log_a x - \log_a y$ – źle! Różnica logarytmów to logarytm ilorazu, a iloraz logarytmów to coś innego.

Logarytm z definicji

Schemat

1. Zapisz równanie z definicji
2. Sprowadź a i b do wspólnej podstawy
3. Porównaj wykładniki
4. Oblicz c

Uważaj

• ✗Odwrócenie definicji: $\log_2 8 = c \iff 8^c = 2$ – źle, to podstawa jest potęgowana: $2^c = 8$.
• ✗$\log_a 1 = 1$ – źle, $\log_a 1 = 0$, bo $a^0 = 1$.

Działania na logarytmach

• Logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi:$\log_a x + \log_a y = \log_a(xy) \qquad \log_a x - \log_a y = \log_a\frac{x}{y} \qquad k\log_a x = \log_a x^k$

Schemat

1. Sprawdź podstawy
2. Liczby przed logarytmami wstaw do wykładnika
3. Połącz w jeden logarytm
4. Oblicz z definicji

Uważaj

• ✗$\log_2 96 - \log_2 3 = \log_2 93$ – różnica logarytmów to logarytm ilorazu: $\log_2 32 = 5$.
• ✗Zapomnienie o liczbie przed logarytmem przy łączeniu: $\log_3 108 - 2\log_3 2 \neq \log_3 54$.

Procenty

• O ile procent zmieniła się wartość:$\frac{\text{nowa} - \text{stara}}{\text{stara}}\cdot 100\%$
• ★ Kapitał po n okresach:$K_n = K\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

Schemat

1. Zapisz dane
2. Zamień procent na mnożnik
3. Ułóż równanie lub wyrażenie
4. Rozwiąż
5. Sprawdź sensowność

Uważaj

• ✗Dzielenie przez nową wartość zamiast przez starą przy liczeniu „o ile procent”.
• ✗Dodawanie kolejnych procentów: $-20\% + 20\% = 0\%$ – źle, zmiany się mnoży.

Procent z liczby i liczba z procentu

Schemat

1. Ustal, czego szukasz
2. Zapisz równanie
3. Rozwiąż i sprawdź sens

Uważaj

• ✗Mylenie punktów procentowych z procentami.
• ✗Dzielenie odwrotne przy „jakim procentem”: pytanie „jakim procentem $a$ jest $b$” to $\frac{b}{a}$ – liczba po słowie „liczby” idzie do mianownika.

Podwyżki, obniżki i porównania procentowe

Schemat

1. Ustal wartość wyjściową
2. Zamień każdą zmianę na mnożnik
3. Ułóż równanie
4. Odczytaj wynik jako procent

Uważaj

• ✗Dodawanie procentów kolejnych zmian: $+20\%$ i $-20\%$ to nie $0\%$.
• ✗Liczenie procentu od nowej wartości, gdy pytają o starą (i odwrotnie).

Lokaty i procent składany

• ★ Procent składany:$K_n = K_0\cdot\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

Schemat

1. Wypisz dane
2. Zapisz mnożnik
3. Podstaw do wzoru
4. Odpowiedz na pytanie

Uważaj

• ✗Podanie kwoty końcowej, gdy pytają o same odsetki (lub odwrotnie) – w odpowiedziach zawsze są obie liczby.
• ✗Procent prosty zamiast składanego: $10\,000\cdot 0{,}06\cdot 2 = 1200$ zamiast $1236$.

Wartość bezwzględna i przedziały

• ★ Wartość bezwzględna:$|a| = \begin{cases} a, & \text{gdy } a \ge 0 \\ -a, & \text{gdy } a < 0 \end{cases}$
• Nierówności z wartością bezwzględną:$|x - a| \le r \iff x \in \langle a - r,\, a + r\rangle \qquad |x - a| \ge r \iff x \in (-\infty,\, a - r\rangle \cup \langle a + r,\, +\infty)$

Schemat

1. Zapisz wyrażenie w postaci |x − a|
2. Odczytaj środek a i promień r
3. Zaznacz rozwiązanie na osi
4. Zapisz wynik jako przedział

Uważaj

• ✗Rozwiązywanie $|x - 2| \le 3$ jako tylko $x \le 5$ – zapominasz o drugim końcu.
• ✗Domykanie przedziału przy nieskończoności: $\langle 3, +\infty\rangle$ – źle, przy $\infty$ zawsze nawias okrągły.

Obliczanie wartości bezwzględnej liczby

• Definicja wartości bezwzględnej:$|a| = \begin{cases} a & \text{dla } a \ge 0 \\ -a & \text{dla } a < 0 \end{cases}$

Schemat

1. Ustal znak każdego wyrażenia
2. Opuść kreski
3. Zredukuj

Uważaj

• ✗„Kreski zmieniają minusy na plusy”: $|\sqrt{5} - 3| = \sqrt{5} + 3$ – źle. Zmienia się znak całego wyrażenia.
• ✗Opuszczenie kresek bez sprawdzenia znaku.

Równania z wartością bezwzględną

Schemat

1. Zapisz w postaci |x − a| = r
2. Wyznacz oba rozwiązania
3. Odpowiedz na pytanie

Uważaj

• ✗Zły środek: $|x + 4| = 7$ ma środek $-4$, rozwiązania $-11$ i $3$.
• ✗Szukanie rozwiązań równania $|x - 2| = -3$ – nie ma żadnych.

Nierówności z wartością bezwzględną na osi liczbowej

Schemat

1. Odczytaj środek a i promień r
2. Wybierz typ zbioru
3. Zapisz końce
4. Jeśli pytają o liczby całkowite – wypisz je

Uważaj

• ✗Pomylenie typu zbioru: $|x - 1| \ge 3$ to nie przedział $[-2, 4]$.
• ✗Zły środek przy plusie w nawiasie: $|x + 2|$ ma środek $-2$.