Kombinatoryka i prawdopodobieństwo

Kombinatoryka

• Reguła mnożenia:$n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$
• Reguła dodawania:$|A \cup B| = |A| + |B|$
• ★ Ustawienia n elementów (permutacje):$n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n$

Schemat

1. Podziel wybór na etapy
2. Zacznij od ograniczeń
3. Policz możliwości w każdym etapie
4. Pomnóż (lub dodaj rozłączne przypadki)

Uważaj

• ✗Zero na pierwszym miejscu liczby.
• ✗Dodawanie zamiast mnożenia przy kolejnych etapach.

Liczby o cyfrach spełniających warunki

Schemat

1. Narysuj kratki na cyfry
2. Wypełnij kratki z warunkami
3. Wypełnij pozostałe
4. Pomnóż (dodaj przypadki)

Uważaj

• ✗Zero na pierwszej pozycji.
• ✗Mnożenie zamiast dodawania rozłącznych przypadków (lub odwrotnie).

Liczby o niepowtarzających się cyfrach

Schemat

1. Zacznij od pozycji z warunkami
2. Każda kolejna pozycja – o jedną cyfrę mniej
3. Gdy warunki się „gryzą” – rozbij na przypadki

Uważaj

• ✗Jeden przypadek dla liczb parzystych – zero na końcu zmienia liczbę możliwości dla pierwszej cyfry.

Wybory, pary i ustawienia

Schemat

1. Czy kolejność ma znaczenie?
2. Licz etapami
3. Dziel przez powtórzenia

Uważaj

• ✗Liczenie par bez kolejności jako uporządkowanych (wynik dwa razy za duży).
• ✗W kolorowaniu: odejmowanie kolorów obszarów, które nie graniczą.

Prawdopodobieństwo

• ★ Klasyczna definicja prawdopodobieństwa:$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

Schemat

1. Opisz doświadczenie i Ω
2. Policz wyniki sprzyjające
3. Rozważ zdarzenie przeciwne
4. Podziel i skróć

Uważaj

• ✗Prawdopodobieństwo większe od $1$ – sygnał, że $|A|$ lub $|\Omega|$ jest źle policzone.
• ✗Liczenie par kostek bez uwzględnienia kolejności: $(1,6)$ i $(6,1)$ to różne wyniki.

Rzut dwiema kostkami

Schemat

1. Zapisz |Ω| = 36
2. Wypisz wyniki sprzyjające
3. Podziel i skróć

Uważaj

• ✗$|\Omega| = 21$ (pary nieuporządkowane) – wyniki $(1,2)$ i $(2,1)$ są różne.
• ✗Liczenie $(3,3)$ dwa razy.

Losowanie ze zwracaniem i bez zwracania

Schemat

1. Ustal, czy ze zwracaniem
2. Policz pary sprzyjające
3. Podziel i skróć

Uważaj

• ✗$|\Omega| = n^2$ przy losowaniu bez zwracania.
• ✗Liczenie pary (a, b) i pominięcie (b, a).

Losowanie z dwóch zbiorów

Schemat

1. Policz |Ω|
2. Zrób tabelę lub rozbij na przypadki
3. Policz sprzyjające i podziel

Uważaj

• ✗Dodanie liczebności zbiorów zamiast pomnożenia.

Prawdopodobieństwo z proporcji i danych

Schemat

1. Zamień stosunek na części
2. Zapisz P jako ułamek
3. Rozwiąż, jeśli szukasz liczebności

Uważaj

• ✗Stosunek jako prawdopodobieństwo.
• ✗Liczb dwucyfrowych $89$ albo $99$ zamiast $90$.