Geometria analityczna

Punkty, odcinki, odległość

• ★ Długość odcinka:$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
• ★ Środek odcinka:$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$

Schemat

1. Wypisz współrzędne
2. Podstaw do wzoru
3. Uprość pierwiastek
4. Sprawdź na rysunku

Uważaj

• ✗Odejmowanie liczby ujemnej: $3 - (-2) = 5$, a nie $1$.
• ✗Środek jako różnica zamiast średniej: $\frac{x_B - x_A}{2}$ – źle.

Długość i środek odcinka

• ★ Długość i środek odcinka:$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}, \qquad S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$

Schemat

1. Wypisz współrzędne
2. Podstaw do wzoru
3. Uprość pierwiastek

Uważaj

• ✗Odejmowanie zamiast dodawania we wzorze na środek.
• ✗Gubienie minusa: $(-8)^2 = 64$, a nie $-64$.

Brakujący wierzchołek figury

Schemat

1. Znajdź środek przekątnych
2. Wyznacz brakujące wierzchołki
3. Oblicz potrzebne długości

Uważaj

• ✗$C = S - A$ zamiast $2S - A$.
• ✗Przekątna $= |AS|$ – to tylko połowa.

Pola i obwody figur w układzie współrzędnych

Schemat

1. Ustal, które punkty to wierzchołki sąsiednie, a które przeciwległe
2. Oblicz potrzebną długość
3. Podstaw do wzoru na pole / obwód

Uważaj

• ✗Potraktowanie przekątnej jako boku (lub odwrotnie).

Równanie prostej, proste równoległe i prostopadłe

• ★ Równoległe i prostopadłe:$l_1 \parallel l_2 \iff a_1 = a_2 \qquad l_1 \perp l_2 \iff a_1\cdot a_2 = -1$
• ★ Odległość punktu P = (x₀, y₀) od prostej Ax + By + C = 0:$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Schemat

1. Wyznacz współczynnik a
2. Podstaw punkt
3. Zapisz równanie
4. Sprawdź

Uważaj

• ✗Dla prostopadłej tylko zmiana znaku: $a = -2$ zamiast $-\frac{1}{2}$.
• ✗Przy przejściu do postaci kierunkowej zapomnienie o podzieleniu wszystkich wyrazów.

Prosta przez dwa punkty

• ★ Prosta przez dwa punkty:$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}, \qquad y - y_A = a(x - x_A)$

Schemat

1. Oblicz a
2. Wyznacz b
3. Sprawdź drugi punkt

Uważaj

• ✗Różna kolejność punktów w liczniku i mianowniku: $\frac{y_B - y_A}{x_A - x_B}$.

Prosta równoległa lub prostopadła przez punkt

• ★ Warunki dla y = a₁x + b₁ i y = a₂x + b₂:$\text{równoległe: } a_1 = a_2, \qquad \text{prostopadłe: } a_1\cdot a_2 = -1$

Schemat

1. Odczytaj a danej prostej
2. Wyznacz a szukanej
3. Podstaw punkt i wyznacz b

Uważaj

• ✗Prostopadła z $a_2 = -a_1$ (tylko zmiana znaku) albo $a_2 = \frac{1}{a_1}$ (tylko odwrócenie).
• ✗Symetralna przez punkt A zamiast przez środek odcinka.

Równoległość i prostopadłość prostych z parametrem

Schemat

1. Zapisz obie proste w postaci y = ax + b
2. Ułóż równanie z warunku
3. Rozwiąż i sprawdź

Uważaj

• ✗Porównywanie wyrazów wolnych zamiast współczynników kierunkowych.
• ✗Błąd przy przekształcaniu postaci ogólnej (zapomnienie o dzieleniu przez współczynnik przy $y$).

Punkt przecięcia prostych

Schemat

1. Ustal, które dwie proste tworzą wierzchołek
2. Rozwiąż układ
3. Jeśli brakuje prostej – wyznacz ją

Uważaj

• ✗Wyznaczenie tylko x bez y.

Okrąg w układzie współrzędnych

• ★ Równanie okręgu o środku S = (a, b) i promieniu r:$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Schemat

1. Doprowadź do postaci kanonicznej
2. Odczytaj S i r
3. Oblicz potrzebną odległość
4. Porównaj z r

Uważaj

• ✗Odczyt środka ze złymi znakami: z $(x + 1)^2$ środek ma $x = -1$.
• ✗Promień równy prawej stronie zamiast jej pierwiastkowi.

Wyznaczanie równania okręgu

• ★ Równanie okręgu:$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Schemat

1. Wyznacz środek
2. Wyznacz r²
3. Zapisz równanie

Uważaj

• ✗Prawa strona $r$ zamiast $r^2$.
• ✗Znaki środka: z $(x + 1)^2$ odczytanie $a = 1$.

Okrąg a osie układu i odległości

Schemat

1. Odczytaj środek i promień
2. Porównaj odległość z promieniem
3. Przy punktach przecięcia – podstaw 0

Uważaj

• ✗Styczny do $Ox$, a promień $= |a|$ – pomylenie osi.

Symetria okręgu i wzajemne położenie okręgów

Schemat

1. Odczytaj środek i promień
2. Przekształć środek
3. Zapisz nowe równanie

Uważaj

• ✗Zmiana znaku obu współrzędnych przy symetrii osiowej.
• ✗Zmiana promienia przy symetrii.