Funkcje

Pojęcie funkcji i jej własności

Schemat

1. Ustal, o co pyta zadanie
2. Z wykresu: patrz na odpowiednią oś
3. Ze wzoru: podstaw lub rozwiąż
4. Zwróć uwagę na końce przedziałów

Uważaj

• ✗Mylenie dziedziny (oś $OX$) ze zbiorem wartości (oś $OY$).
• ✗Podawanie miejsca zerowego jako punktu $(3, 0)$ zamiast liczby $3$.

Odczytywanie własności funkcji z wykresu

Schemat

1. Ustal, o co pytają: x czy y
2. Odczytaj charakterystyczne punkty
3. Sprawdź końce
4. Zapisz przedział

Uważaj

• ✗Podawanie zbioru wartości z $x$-ów (lub dziedziny z $y$-ów).
• ✗Miejsca zerowe jako punkty $(x, 0)$ – wystarczą liczby $x$.

Równania i nierówności odczytywane z wykresu

Schemat

1. Narysuj prostą y = k
2. Zaznacz punkty przecięcia
3. Wybierz części nad lub pod prostą
4. Zapisz x-y jako przedziały

Uważaj

• ✗Zapisanie przedziału wartości (y) zamiast argumentów (x).
• ✗Pominięcie kawałka wykresu, który też spełnia warunek.

Funkcja określona tabelą lub kilkoma wzorami

Schemat

1. Przy x ustal przedział
2. Licz z właściwego wzoru
3. Złóż wynik

Uważaj

• ✗Liczenie $f(-1)$ z pierwszego wzoru, bo „$-1$ jest końcem” – trzeba sprawdzić, do którego przedziału należy.
• ✗Zapis dziedziny funkcji z tabeli jako przedziału.

Wartość funkcji, argument i parametr ze wzoru

Schemat

1. Zapisz warunek jako równanie
2. Rozwiąż
3. Sprawdź

Uważaj

• ✗Mylenie argumentu (x) z wartością (y).
• ✗Brak nawiasu przy podstawianiu liczby ujemnej do potęgi.

Funkcja liniowa

• Funkcja liniowa:$f(x) = ax + b$
• Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów:$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
• ★ Warunki:$\text{równoległe: } a_1 = a_2 \qquad \text{prostopadłe: } a_1\cdot a_2 = -1$

Schemat

1. Oblicz współczynnik a
2. Podstaw punkt do y = ax + b
3. Wyznacz b
4. Zapisz wzór i sprawdź

Uważaj

• ✗Odwrotna kolejność w liczniku i mianowniku: $a = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$ – źle.
• ✗Dla prostej prostopadłej zmiana tylko znaku ($a = -3$) zamiast wzięcia odwrotności z przeciwnym znakiem ($a = -\frac{1}{3}$).

Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

Schemat

1. Zamień dane na punkty
2. Oblicz a
3. Oblicz b
4. Sprawdź drugim punktem

Uważaj

• ✗Odwrócony iloraz: $\frac{x_B - x_A}{y_B - y_A}$.
• ✗Mylenie miejsca zerowego $(x_0, 0)$ z punktem $(0, x_0)$.

Własności funkcji liniowej i parametr

Schemat

1. Odczytaj a i b (z parametrem)
2. Zapisz warunek
3. Rozwiąż nierówność lub równanie

Uważaj

• ✗Brak zmiany znaku: $-2k + 3 < 0 \Rightarrow k < \frac{3}{2}$ – źle, poprawnie $k > \frac{3}{2}$.
• ✗Mylenie $b$ z miejscem zerowym.

Funkcja liniowa w zadaniach praktycznych

Schemat

1. Znajdź część stałą i zmianę na jednostkę
2. Zapisz wzór i dziedzinę
3. Odpowiedz na pytanie

Uważaj

• ✗Pominięcie dziedziny wynikającej z treści.
• ✗Zły znak $a$, gdy wielkość maleje.

Funkcja kwadratowa

• ★ Wierzchołek paraboli:$p = \frac{-b}{2a} \qquad q = \frac{-\Delta}{4a} = f(p)$

Schemat

1. Odczytaj a, b, c
2. Oblicz wierzchołek
3. Oblicz miejsca zerowe (jeśli trzeba)
4. Odczytaj własności

Uważaj

• ✗Błąd znaku w $p = \frac{-b}{2a}$ – np. dla $b = -4$ wychodzi $p = 2$, nie $-2$.
• ✗Liczenie wartości w wierzchołku, który leży poza przedziałem.

Wierzchołek, oś symetrii i postać kanoniczna

• ★ Wierzchołek i postać kanoniczna:$p = \frac{-b}{2a},\quad q = f(p) = \frac{-\Delta}{4a},\qquad f(x) = a(x - p)^2 + q$

Schemat

1. Odczytaj a, b, c
2. Oblicz p
3. Oblicz q = f(p)
4. Zapisz postać kanoniczną

Uważaj

• ✗Odczyt $p = 1$ z $(x + 1)^2$ – w nawiasie jest $x - p$.
• ✗$p = \frac{b}{2a}$ – brak minusa.

Zbiór wartości i monotoniczność funkcji kwadratowej

Schemat

1. Wyznacz wierzchołek (p, q)
2. Ustal znak a
3. Zapisz z tabeli

Uważaj

• ✗Zapis zbioru wartości z $p$ zamiast $q$.
• ✗Odwrotny kierunek ramion przy $a < 0$.

Miejsca zerowe, postać iloczynowa i symetria paraboli

• ★ Postać iloczynowa:$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2), \qquad p = \frac{x_1 + x_2}{2}$

Schemat

1. Wybierz najwygodniejszą postać
2. Korzystaj z symetrii
3. Przechodź między postaciami

Uważaj

• ✗Odczyt miejsc zerowych z $(x - 1)(x + 3)$ jako $-1$ i $3$.
• ✗Liczenie $x_2 = p - x_1$ zamiast $2p - x_1$.

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej

Schemat

1. Wybierz postać startową
2. Podstaw znany punkt
3. Zapisz wzór
4. Sprawdź

Uważaj

• ✗Pominięcie współczynnika $a$ (przyjęcie $a = 1$ bez sprawdzenia).
• ✗Znaki w nawiasach: miejsce zerowe $-1$ daje $(x + 1)$.

Najmniejsza i największa wartość w przedziale

Schemat

1. Oblicz p
2. Policz wartości
3. Wybierz najmniejszą i największą

Uważaj

• ✗Przyjęcie wierzchołka za wartość najmniejszą także wtedy, gdy leży poza przedziałem.
• ✗Sprawdzenie tylko jednego końca przedziału.

Przekształcenia wykresów

Schemat

1. Porównaj wzory
2. Odczytaj wektor lub symetrię
3. Przekształć charakterystyczne punkty
4. Narysuj lub zapisz wynik

Uważaj

• ✗$f(x - 3)$ jako przesunięcie w lewo – to przesunięcie w prawo.
• ✗Mylenie $-f(x)$ (symetria względem $OX$) z $f(-x)$ (symetria względem $OY$).

Przesunięcie wykresu o wektor

Schemat

1. Odczytaj wektor
2. Przesuń charakterystyczne punkty
3. Zapisz wzór lub wynik

Uważaj

• ✗Przesunięcie $f(x - 5)$ w lewo zamiast w prawo.
• ✗Przesuwanie miejsc zerowych w poziomie przy $f(x) + b$.

Symetrie wykresu względem osi

Schemat

1. Rozpoznaj symetrię
2. Przekształć charakterystyczne punkty
3. Porównaj z rysunkami

Uważaj

• ✗Mylenie $-f(x)$ z $f(-x)$.
• ✗Przy $f(-x)$ zmiana znaku tylko w jednym miejscu wzoru zamiast przy każdym $x$.

Funkcja wykładnicza i proporcjonalność odwrotna

• Funkcja wykładnicza:$f(x) = a^x, \quad a > 0,\ a \neq 1$
• Proporcjonalność odwrotna:$f(x) = \frac{a}{x}, \quad a \neq 0$

Schemat

1. Rozpoznaj typ funkcji
2. Wyznacz parametr z punktu
3. Zapisz własności
4. Oblicz, o co pytają

Uważaj

• ✗Twierdzenie, że $a^x$ może być ujemne lub równe $0$ – zbiór wartości to $(0, +\infty)$.
• ✗Mówienie, że $\frac{a}{x}$ jest malejąca w całej dziedzinie.

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna – wykres i własności

Schemat

1. Ustal podstawę
2. Parametr z punktu
3. Wartości licz z definicji potęgi lub logarytmu

Uważaj

• ✗$\log_6 36 = 6$ – logarytm to wykładnik, tu $2$.
• ✗Uznanie, że $a^x$ może przyjąć wartość $0$ lub ujemną.

Funkcja wykładnicza w zadaniach praktycznych

Schemat

1. Zapisz wzór
2. Podstaw dane
3. Sprowadź do wspólnej podstawy

Uważaj

• ✗Mnożenie przez wykładnik zamiast potęgowania: $200\cdot\frac{1}{2}\cdot 3$.
• ✗Pominięcie stałej dodanej we wzorze (temperatura otoczenia).

Proporcjonalność odwrotna – wzór i zastosowania

• Proporcjonalność odwrotna:$y = \frac{a}{x} \iff x\cdot y = a \quad (a \neq 0)$

Schemat

1. Oblicz stałą a = x·y
2. Wyznacz szukaną
3. Sprawdź sens

Uważaj

• ✗Rozwiązanie proporcją wprost (więcej robotników → więcej dni).
• ✗Liczenie $a$ jako ilorazu $\frac{y}{x}$.

Zadania optymalizacyjne

Schemat

1. Oznacz zmienną
2. Zbuduj funkcję
3. Wyznacz dziedzinę
4. Znajdź wierzchołek
5. Sformułuj odpowiedź

Uważaj

• ✗Podanie $x$ (np. obniżki) zamiast odpowiedzi na pytanie (cena po obniżce).
• ✗Pominięcie dziedziny – albo wierzchołka poza dziedziną.

Optymalizacja w geometrii – pole i objętość

Schemat

1. Oznacz zmienną x
2. Z warunku wyraź drugą wielkość przez x
3. Zapisz funkcję i dziedzinę
4. Wyznacz wierzchołek
5. Odpowiedz

Uważaj

• ✗Brak dziedziny albo dziedzina domknięta, gdy długość może być zerem.
• ✗Odpowiedź tylko x, gdy pytają o wymiary (obie długości) lub o pole.

Optymalizacja – przychód, zysk, cena

Schemat

1. Zapisz funkcję
2. Doprowadź do postaci ogólnej
3. Wierzchołek i dziedzina
4. Odpowiedz na pytanie

Uważaj

• ✗Odjęcie tylko pierwszego wyrazu kosztu (brak nawiasu).
• ✗Odpowiedź „$x = 10$”, gdy pytają o cenę ($40 - 10 = 30$ zł).

Optymalizacja – najmniejsza wartość wyrażenia

Schemat

1. Wyznacz zmienną z warunku
2. Zbuduj funkcję
3. Dziedzina
4. Wierzchołek i odpowiedź

Uważaj

• ✗Błąd w rozwinięciu $(12 - x)^2$.
• ✗Pominięcie dziedziny z warunku „nieujemne”.

Funkcja kwadratowa opisująca zjawisko

Schemat

1. Zrozum, co oznacza x i f(x)
2. Przetłumacz pytanie
3. Licz i interpretuj

Uważaj

• ✗Utożsamienie $L(3)$ (suma z trzech dni) z liczbą klientów w trzecim dniu.
• ✗Podanie $t = 0$ jako chwili uderzenia w ziemię.