Ciągi

Ciągi – wzór ogólny i rekurencyjny

Schemat

1. Rozpoznaj typ wzoru
2. Licz wyrazy
3. Szukając numeru wyrazu – rozwiąż równanie
4. Odrzuć nienaturalne rozwiązania

Uważaj

• ✗Liczenie $a_{n+1}$ jako $a_n + 1$ – to zupełnie co innego.
• ✗Pozostawienie ujemnego lub ułamkowego $n$ jako numeru wyrazu.

Wyrazy ciągu ze wzoru ogólnego

Schemat

1. Podstaw albo ułóż równanie/nierówność
2. Rozwiąż
3. Zostaw tylko liczby naturalne

Uważaj

• ✗Podanie ujemnego lub ułamkowego $n$ jako numeru wyrazu.
• ✗Liczenie $n = 0$ jako wyrazu (ciąg zaczyna się od $n = 1$).

Ciąg określony wzorem na sumę wyrazów

• Wyraz z sumy:$a_1 = S_1, \qquad a_n = S_n - S_{n-1} \ \ (n \ge 2)$

Schemat

1. Pierwszy wyraz
2. Wyraz k-ty
3. Rodzaj ciągu

Uważaj

• ✗Utożsamienie $S_n$ z $a_n$.
• ✗Odejmowanie $S_{n+1}$ zamiast $S_{n-1}$.

Ciąg rekurencyjny

Schemat

1. Zacznij od a₁
2. Licz kolejno
3. Sprawdź różnice i ilorazy

Uważaj

• ✗Podstawienie $n$ zamiast poprzedniego wyrazu.
• ✗Uznanie ciągu za arytmetyczny na podstawie jednej różnicy.

Własności ciągu – znak, monotoniczność, (−1)ⁿ

Schemat

1. Wypisz kilka pierwszych wyrazów
2. Policz różnicę a_{n+1} − a_n
3. Oceń każde stwierdzenie osobno

Uważaj

• ✗Ocena monotoniczności tylko na podstawie dwóch pierwszych wyrazów, gdy ciąg ma czynnik (−1)ⁿ.
• ✗Uznanie ciągu stałego za geometryczny i arytmetyczny jednocześnie bez sprawdzenia warunków zadania (stały niezerowy ciąg jest oboma).

Ciąg arytmetyczny

• ★ n-ty wyraz:$a_n = a_1 + (n - 1)r$
• ★ Suma n początkowych wyrazów:$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2}\cdot n$
• ★ Trzy kolejne wyrazy:$a, b, c \text{ – arytmetyczny} \iff b = \frac{a + c}{2} \iff 2b = a + c$

Schemat

1. Wypisz dane
2. Wyraź wyrazy przez a₁ i r
3. Rozwiąż równanie lub układ
4. Oblicz, o co pytają

Uważaj

• ✗$a_n = a_1 + nr$ zamiast $a_1 + (n - 1)r$.
• ✗W warunku na trzy wyrazy: $b = a + c$ zamiast $2b = a + c$.

Ciąg arytmetyczny z dwóch danych wyrazów

• ★ Wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:$a_n = a_1 + (n - 1)r, \qquad a_k - a_m = (k - m)\cdot r$

Schemat

1. Policz kroki między wyrazami
2. Wyznacz r
3. Licz szukany wyraz

Uważaj

• ✗Liczenie kroków jako $k - m + 1$ zamiast $k - m$.
• ✗Dodanie różnicy zamiast odjęcia przy cofaniu się do wcześniejszego wyrazu.

Trzy wyrazy ciągu arytmetycznego – parametr

• Warunek na trzy kolejne wyrazy:$(a, b, c) \text{ – arytmetyczny} \iff 2b = a + c$

Schemat

1. Zapisz warunek 2b = a + c
2. Rozwiąż równanie
3. Sprawdź dodatkowe warunki

Uważaj

• ✗Warunek $b = a + c$ (bez dwójki) albo $2a = b + c$.
• ✗Pominięcie sprawdzenia monotoniczności dla obu rozwiązań.

Suma ciągu arytmetycznego

• ★ Suma ciągu arytmetycznego:$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2}\cdot n$

Schemat

1. Wybierz wzór
2. Podstaw
3. Przy szukaniu n – równanie kwadratowe

Uważaj

• ✗$(n - 1)$ zamiast $n$ na końcu wzoru.
• ✗Podanie ujemnego $n$ z równania kwadratowego.

Ciąg arytmetyczny w zadaniach tekstowych

Schemat

1. Ustal a₁, r, n
2. Zapisz sumę lub wyraz
3. Rozwiąż i odpowiedz

Uważaj

• ✗Dodatnia różnica przy malejących ratach.
• ✗Pytają o sumę, a podana jest ostatnia rata (lub odwrotnie).

Ciąg geometryczny

• ★ n-ty wyraz:$a_n = a_1\cdot q^{n-1}$
• ★ Suma n początkowych wyrazów:$S_n = a_1\cdot\frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1) \qquad S_n = n\cdot a_1 \quad (q = 1)$
• ★ Trzy kolejne wyrazy:$a, b, c \text{ – geometryczny} \iff b^2 = a\cdot c$

Schemat

1. Wypisz dane
2. Wyraź wyrazy przez a₁ i q
3. Podziel równania stronami
4. Oblicz, o co pytają

Uważaj

• ✗$a_n = a_1\cdot q^n$ zamiast $a_1\cdot q^{n-1}$.
• ✗Z $q^2 = 4$ tylko $q = 2$ – zapominasz o $q = -2$.

Ciąg geometryczny z dwóch danych wyrazów

• ★ Wyraz ogólny ciągu geometrycznego:$a_n = a_1\cdot q^{n-1}, \qquad \frac{a_k}{a_m} = q^{k - m}$

Schemat

1. Podziel wyrazy
2. Wyznacz q
3. Licz szukany wyraz

Uważaj

• ✗Mylenie $q^{n-1}$ z $q^n$.
• ✗Pominięcie ujemnego $q$ przy parzystej potędze.

Trzy wyrazy ciągu geometrycznego – parametr

• Warunek na trzy kolejne wyrazy:$(a, b, c) \text{ – geometryczny} \iff b^2 = a\cdot c$

Schemat

1. Zapisz b² = ac
2. Rozwiąż
3. Sprawdź warunki

Uważaj

• ✗Warunek $2b = a + c$ (arytmetyczny) zamiast $b^2 = ac$.
• ✗Pominięcie warunku „wyrazy dodatnie” przy wyborze rozwiązania.

Suma ciągu geometrycznego i zastosowania

• ★ Suma ciągu geometrycznego:$S_n = a_1\cdot\frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1), \qquad S_n = n\cdot a_1 \quad (q = 1)$

Schemat

1. Wyznacz a₁ i q
2. Podstaw do wzoru
3. Zinterpretuj wynik

Uważaj

• ✗$q^{n-1}$ zamiast $q^n$ we wzorze na sumę.
• ✗Znak przy ujemnym $q$ w potędze.

Ciąg arytmetyczny i geometryczny w jednym zadaniu

Schemat

1. Rozpisz, co jest arytmetyczne, a co geometryczne
2. Zapisz warunki
3. Rozwiąż układ
4. Sprawdź oba rozwiązania

Uważaj

• ✗Pomylenie warunków obu ciągów.
• ✗Odrzucenie poprawnego drugiego rozwiązania bez sprawdzenia.